2024-2025学年江苏省南京市江宁区竹山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市江宁区竹山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为( )
A. 2x2+xy=3B. x2=1C. x2+3x−5=0D. ax2+bx+c=0
2.用配方法解方程x2−4x−4=0时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=0B. (x−2)2=8C. (x+2)2=0D. (x+2)2=8
3.⊙O以原点为圆心，5为半径，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上
C. 点P在⊙O外D. 点P在⊙O上或⊙O外
4.如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=( )
A. 65°
B. 25°
C. 15°
D. 35°
5.如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC=4 2，DE=4，则BC的长是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
6.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2 61，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.一元二次方程x2=2的根是______．
8.若关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
9.某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x，根据题意所列方程为______．
10.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上.若∠ABC=54°，则∠BDC的度数为______．
11.已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径R=______．
12.若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是______．
13.若三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程x2−6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为______．
14.平面上一点A与⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为10，则⊙O的半径为______．
15.已知a，b是关于x的方程x2+3x−2010=0的两根，则a2−a−4b的值是______．
16.如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是AD的中点，连接OE，若OE的最小值为 2−1，则AB= ______．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：(1)x2−2x−3=0．
(2)(x−3)2=2x−6．
18.(本小题6分)
如图，在⊙O中，点C是AB的中点，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE．
19.(本小题8分)
已知关于x的方程(x−3)(x−2)−p2=0．
(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值．
20.(本小题8分)
如图这是一个残缺的圆形部件，已知A，B，C是该部件圆弧上的三点．
(1)利用尺规作图作出该部件的圆心；(保留作图痕迹)
(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求该部件的半径R．
21.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC=CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证∠A=∠D；
(2)若AE的度数为108°，求∠E的度数．
22.(本小题8分)
某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
(1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
(1)如图1，若AC=BD，求证：AE=DE；
(2)如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD=∠ACB．
24.(本小题8分)
已知，在⊙O中，设BC所对的圆周角为∠BAC.求证：∠BAC=12∠BOC．
证明；圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部(如图①、②和③)．
如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时．
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∵∠BOC=∠A+∠C，
∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=12∠BOC．
请你完成图②、图③的证明．
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
(1)求证：∠AKD=∠CKF；
(2)已知AB=8，CD=4 3，求∠CKF的大小．
26.(本小题8分)
阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．
(1)解方程(x2+x)2−4(x2+x)−12=0；
(2)解方程：x2−3|x|=18．
27.(本小题10分)
【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答．(选择一个解答即可)
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
(2)如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．
求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
(3)在(2)的条件下连接DE、EF、FD(如图4)，设∠DEF=α，则∠AOB的度数为______.(用含α的式子表示)
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.x=± 2
8.k<9且k≠0
9.100(1+x)2=169
10.144°
11.5
12.30°或150°
13.10
14.6或4
15.2022
16.2
17.解：(1)x2−2x−3=0，
移项，得：x2−2x=3，
配方，得：x2−2x+1=3+1，即(x−1)2=4，
两边同时开方，得：x−1=±2，
∴x1=3，x2=−1；
(2)∵(x−3)2=2(x−3)，
∴(x−3)2−2(x−3)=0，
则(x−3)(x−5)=0，
∴x−3=0或x−5=0，
解得x1=3，x2=5．
18.证明：连接CO，如图所示，
∵OA=OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，
又∵点C是AB的中点，
∴AC=CB，
∴∠COD=∠COE，
在△COD和△COE中，
OC=OC∠COD=∠COEOD=OE，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE．
19.(1)证明：方程整理为x2−5x+6−p2=0，
∴△=(−5)2−4×1×(6−p2)=1+4p2，
∵4p2≥0，
∴△>0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：根据题意得x1+x2=5，x1x2=6−p2，
∵x12+x22=3x1x2，
∴(x1+x2)2−2x1x2=3x1x2，
即25=5(6−p2)，
∴p=±1．
20.解：(1)如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

(2)连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，
∴BD=DC，
∵BC=16cm，
∴BD=8(cm)，
∵AB=10cm，
∴AD= AB2−BD2= 102−82=6(cm)，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=(R−6)cm，
∴R2=82+(R−6)2，
解得：R=253cm，
∴圆片的半径R为253cm．
21.(1)证明：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴即AD⊥BC，
又AC=CD，
∴AB=BD，
∴∠A=∠D；
(2)解：∵AE的度数为108°，
∴∠EBA=54°，
又∠EBA=∠A+∠D，∠A=∠D，
∴∠A=12∠EBA=27°，
∴∠E=∠A=27°．
22.解：(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：25−220.5×1+8=14，
则此时，平均每周的销售利润是：(22−15)×14=98(万元)；
(2)设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
(25−x−15)(8+2x)=90，
解得x1=1，x2=5，
当x=1时，销售数量为8+2×1=10(辆)；
当x=5时，销售数量为8+2×5=18(辆)，
为了尽快减少库存，则x=5，此时每辆汽车的售价为25−5=20(万元)，
答：每辆汽车的售价为20万元．
23.证明：(1)∵AC=BD，
∴AC=BD，
即AB+BC=BC+CD，
∴AB=CD，
∴∠ADB=∠CAD，
∴AE=DE；
(2)作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACB=∠ADE，∠F=∠CAD，
∴∠ACB+∠F=90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF=90°，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠ACB=∠FCD，
即∠OCD=∠ACB．
24.解：图②证明：如图②所示，连接AO并延长交圆O于D，

∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC，
∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC，
∴∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC，
∴∠BOC=2∠BAC，即∠BAC=12∠BOC；
图③证明：如图③所示，延长BO交圆O于E，

∴∠E=∠BAC，
由图①的证明可知∠E=12∠BOC，
∴∠A=12∠BAC．
25.(1)证明：连接AD、AC，

∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BD=BC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；
(2)解：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴OD=OA=4，
∵弦CD⊥AB，CD=4 3，
∴DE=CE=12CD=2 3，
在Rt△ODE中，OE= OD2−DE2=2，
∴AE=6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE=62 3= 3，
∴∠ADE=60°，
∵∠CKF=∠ADE=60°．
26.解：(1)设x2+x=y，
则原方程可化为：y2−4y−12=0，
解得：y1=−2，y2=6，
∴x2+x=−2或x2+x=6，
当x2+x+2=0时，方程无解；
当x2+x−6=0时，即(x+3)(x−2)=0，
解得x1=−3，x2=2；
(2)当x>0时，原方程可化为：x2−3x−18=0，
当x<0时，原方程可化为：x2+3x−18=0，
当x2−3x−18=0时，即(x−6)(x+3)=0，
解得x1=6，x2=−3(舍去)；
当x2+3x−18=0时，即(x+6)(x−3)=0，
解得x1=−6，x2=3(舍去)，
∴原方程的解为x=6或x=−6．
27.解：(1)选择教材原题，
点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上．
如图，连接ME、MD，
∵BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，
∴ME=MB=MC=MD，
∴点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上．
(2)如图，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，
由点A、D、O、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，
∴∠ECB=∠BAF，
∵∠BEC=90°，
∴∠ECB+∠ABF=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF为△ABC的边BC上的高．
(3)如图，∵∠BEO=∠BFO=90°，
∴点B、F、O、E在以点N为圆心的同一个圆上，
∴∠FBO=∠FEO，
∵由(1)证得点B、C、D、E在同一个圆上，
∴∠FBO=∠CED，
∴∠FEO=∠CED，
同理可证：∠EFO=∠AFD，∠EDO=∠FDO，
∴点G是△DEF的内心．
∴∠AOB=90°+12α．