北京市延庆区2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题.1

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本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则一定有（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则（ ）
A．图象关于轴对称，且在上是增函数
B．图象关于轴对称，且在上是减函数
C．图象关于原点对称，且在上是增函数
D．图象关于原点对称，且在上是减函数
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．设已知数列中，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．是等比数列D．
9．设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．函数的定义域是_____________．
12．把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得到的图象对应的函数解析式是_____________．
13．已知函数在存在最小值3，则满足题意的_____________．
14．若函数存在最小值，则的一个取值为_____________；的最大值为_____________．
15．函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象．给出下列四个结论：
①是函数的一个周期；
②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称；
④在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
已知是各项均为正数的等比数列，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求的最大值．
17．（本小题14分）
已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；
条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．
19．（本小题14分）
为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项．据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
（Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）
20．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
21．（本小题15分）
已知数列为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合，中元素的最大值记为，最小值记为．
（Ⅰ）若数列为，且，写出的值；
（Ⅱ）若，求的最大值及的最小值；
（Ⅲ）若，试求的最小值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9．A 10．C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11． 12． 13．2
14．0（第一空不唯一，区间上任意值都可以），4
（注：第一空2分，第二空3分）
15．①③④（注：对一个2分，对2个4分，对3个5分）
三、解答题（共6小题，共85分）
16．解：（Ⅰ）设的公比为，因为，
所以．
解得（舍去）或．
因此的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，，
故是首项为，公差为的单调递减等差数列．
则．
又，所以数列的前4项为正数，
所以当或5时，取得最大值，且最大值为．
17．（Ⅰ）．
选条件①：函数的图象经过点．
则．
即．
所以．
因为，
所以．
所以．
条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到．
因为函数的图象可由函数的图象平移得到，
所以函数的周期与函数的周期相同．
因为函数的周期，
所以函数的周期．
则，即．
所以．
选条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．
因为函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
所以函数的周期．
则，即．
所以．
（Ⅱ）因为关于的不等式恒成立，
所以在的最大值不大于即可．
因为，
所以．
所以．
所以，即．
当且仅当，即时，取得最大值2．
所以．
所以实数的取值范围为．
18．（Ⅰ）由题意得，，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程
为，
即；
（Ⅱ）因为，
因为和均在区间因为上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；
时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减
因为，
所以在区间上的最小值为．
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
19．（Ⅰ）方法一：从表格中可知：获奖学生总数为：人，获得一等奖的人，
记事件为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖”，则，
记事件为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生来自中学组”，
则为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖且来自中学组”，，因此
从获奖学生中随机抽取1人，若获得一等奖，抽到的学生来自中学组的概率为．
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（Ⅱ）的取值范围是．
记事件为“从中学组获奖者中取1人，该人是PK赛获奖”，
事件为“从小学组获奖者中取1人，该人是PK赛获奖”，
中学组获奖者有，其中PK赛获奖的人数为100，
小学组获奖者有，其中PK赛获奖的人数为100，
．
由题意知，事件相互独立，
所以；
所以的分布列为：
的数学期望．
（Ⅲ）．
20．（Ⅰ）的定义域为．
由得．
令得．
因为，所以当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）由，依题意，在上恒成立．
设，
则．
令，得（舍），．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
故．
又由得．
所以．
依题意需，即．
设，则易知在为增函数．
又，
所以对任意的，有；对任意的，有．
所以，即，解得．
所以的取值范围为．
（Ⅲ）由得，且．
由（Ⅱ）知，当时，，当且仅当时取等号．
所以．
两式相加得，即．
故．
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
21．（Ⅰ）．
（Ⅱ）最小值为6，的最大值6063．
证明：对于1，2，2021，2022的一个排列，
若，则中的每一个元素为，
由题意，
那么，对于任意的，总有．
同理，由题意，
那么，对于任意的，总有，
当时，满足：．
（Ⅲ）的最小值为6069．
由于，对于1，2，2021，2022的一个排列，
中的每一个元素为，
由题意，
对于任意的，都有
即．
构造数列，
对于数列，设任意相邻6项的和为，则
，或
若，则
若，则
所以，即对这样的数列，
又，所以的最小值为6069． 奖项组别
单人赛
PK赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
中学组
40
40
120
100
小学组
32
58
210
100
0
1
2