浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

这是一份浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.要建造一个容积为，深为6m的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元，池底的造价为135元，问水池总造价最低时，水池的长a与宽b分别为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
4.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A.B.C.D.
5.命题：“，”是假命题，则k的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
6.“幂函数在单调递减”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
7.已知，，则（ ）
A.B.C.D.4
8.若的最大值为，则m的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论错误的是（ ）
A.若，则在上单调递增
B.在上单调递增
C.在定义域内单调递减
D.若在R上单调递增，则a的取值范围为
10.已知a，，，则下列结论正确的是（ ）
A.ab的最大值为B.的最大值为
C.的最小值为1D.的最小值为4
11.存在函数满足对任意的都有（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为__________.
13.，则不等式的解集为__________.
14.已知a，b，，，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知.
（1）若，，求；
（2）设命题，命题，若命题q是命题p的必要不充分条件，求a的取值范围.
16.（本小题12分）
已知是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3），解关于x的不等式.
17.（本小题12分）
温州市初中毕业生体育学业测试项目中，耐力类（男生1000米/女生800米）为必考项目。现一体重为50kg的小明准备做四分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后三分钟的疲劳阶段。假设小明稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为的减速运动（表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力。假定小明可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位），请回答下列问题：
（1）写出小明剩余体力Q关于时间t的函数；
（2）小明在四分钟内何时体力达到最低，最低值是多少；
（3）小明在三分整时，恰好跑完840米，若此时他准备做匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小明能否在3分40前跑完一千米？
18.（本小题12分）
已知是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）若的定义域为R，判断的单调性并证明；
（3）在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得，求m的取值范围.
19.（本小题12分）
设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质.
（1）试判断集合，是否具有性质？并说明理由；
（2）若集合，证明A不可能具有性质；
（3）若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查并集及其运算，属于基础题．
先化简集合B，再求出两集合的并集即可．
【解答】
解：由，，
得.
故选D.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值的实际应用，属于中档题.
设水池的长为am，宽为bm，总造价为z元；从而可得，
，结合基本不等式求最值即可求解.
【解答】
解：设水池的长为am，宽为；总造价为z元；则，故；
.
当且仅当，时等号成立.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数和幂函数的性质比较数的大小，属于基础题.
解题时直接利用指数函数和幂函数的性质，可以求出结果.
【解答】
解：因为为减函数，故，
又在上为增函数，
故，即，
即.
故选C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，属于基础题.
先求出的定义域，进而可求的定义域.
【解答】
解：因为函数的定义域为，
则，则，即的定义域为，
令，得，
则的定义域为
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查含量词的命题的否定以及真假、一元二次不等式恒成立，属于基础题．
命题，为假命题，则：“，”为真命题，再利用一元二次不等式恒成立，分为，，求得k的范围．
【解答】
解：设命题，“，”为命题p，由题可知命题p为假命题，
所以：“，”为真命题，
当时，显然成立；
当时，则有，解得；
综上，k的取值范围是.
故选D.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件，考查幂函数的定义，属于基础题．
根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若为幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
“幂函数在单调递减”是“”的的充要条件．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求函数值，属于基础题.
由已知求得，代入计算，即可得.
【解答】
解：由题意，得，
则，
则
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的最值问题，属于一般题.
先求出，得当时，恒成立，分离参数，利用二次函数的性质即可求解.
【解答】
解：当时，，
因为是减函数，在递减，在递增，
则当时，在递增，在递减，
故当时，，
则当时，恒成立，
则当时，恒成立，
又当时，，
则当时，；
当时，，
且当时，；当时，
则当时，，
故m的取值范围为
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性，属于中档题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A、不符合任意性，故A错误；
对于B、，在递增，故B正确；
对于C、在和递减，不能说在定义域内单调递减，故C错误；
对于D、由题意，得，解得，故D错误
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的性质，属于一般题.
对于AB，直接利用基本不等式即可求解；对于C，消元得，再根据对勾函数的性质可判断；对于D，消元，再根据基本不等式即可判断.
【解答】
解：，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
所以，
所以ab的最大值为，故A正确；
，当且仅当时等号成立，
令，
则，即，解得，
所以的最小值为，故B错误；
由，可得，
由，可得，
故.
令，
则在上单调递增，
所以，故C错误；
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为4，故D正确.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的概念，函数的单调性，属中档题.
对于A，令与即可判断；对于B，配方、换元即可判断；对于C，换元，根据函数的单调性及函数的定义即可判断；对于D，换元即可判断.
【解答】
解：对于A，令，可得；
令，可得，矛盾，故A错误；
对于B，，
所以.
令，则，
所以，
所以，故B正确；
对于C，设，，则，
是增函数，x与m一一对应，
又也是增函数，m与t也是一一对应，
与t为一一对应，同时符合函数定义，故C正确；
对于D，令，则，
所以，
所以，故D正确.
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查对数运算，属于基础题.
利用对数运算性质即可求解.
【解答】
解：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查绝对值不等式，分类讨论思想.
分类讨论去绝对值，求解即可.
【解答】
解：当时，，
即，解得，故x不存在；
当时，，
即，解得，故；
当时，，
即，解得，故，
综上，，
故答案为.
14.【答案】5
【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于中档题.
由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解.
【解答】解：①，
当且仅当时取等号，
，
即②，当且仅当时，即，时取等号，
将②式代入①式得，
当且仅当，，时取等号.
故答案为：5.
15.【答案】解：（1）；
当时，
.
（2）由题意得，
则即.
【解析】本题考查集合的运算以及利用必要不充分条件求参数范围，属于中档题.
（1）根据不等式求出集合B，然后依据集合的运算求出结果即可；
（2）根据已知命题q是命题p的必要不充分条件可得集合关系，进而求出结果.
16.【答案】解：（1）当时，.
当时，，.
（2）由题意得当时，单调递增且，，在上单调递增，又为奇函数，在R上单调递增
..即的解集为.
（3）等价于.
又在R上单调递增，，即.
①当时，，解得，原不等式解集为；
②当时，原不等式可化为，解得，原不等式解集为.
③当时，原不等式可化为，
时，即时，原不等式解集为
时，即时，原不等式解集为
时，即时，原不等式解集为
【解析】本题考查函数解析式、利用函数单调性解不等式以及一元二次不等式的解法
（1）利用定义域为R的奇函数，当时，，可求时的解析式；
（2）结合函数单调性进行求解即可；
（3）等价于又在R上单调递增，所以，即，然后解不等式即可。
17.【答案】（1）当时，.
当时，.
综上.
（2）当时，为一次函数且单调递减，
此过程，
当时，，
当且仅当，即时取“=”.
由于，第120秒时，体力为最小值300kJ
（3）当时，此时.
冲刺时，体力消耗量为
，
要使在三分四十前到达，需要，，所以小明不能在3分40前跑完一千米
【解析】本题考查由基本不等式求最值或取值范围，利用基本不等式解决实际问题，属于较难题.
（1）分类讨论当时，当时，得到解析式；
（3）当时，为一次函数且单调递减，当时，结合基本不等式求解；
（3）当时，此时要使在三分四十前到达，需要，求解即可.
18.【答案】解：（1）由题意得或不存在，
①当时，，，，
又，，
经检验为奇函数，
，满足条件；
②当不存在时，，，
又，，
经检验为奇函数，
，满足条件；
（2）定义域为R，，
任取，，，
，
在R上单调递增；
（3）记时，的值域为A，时，的值域为B，由题意得，
令，则，
，
又，
，
①当时，不符合题意，
②当，，，，
，，
③当时，不成立，
综上所述：m的取值范围为.
【解析】本题考查了奇函数的定义，证明函数的单调性，函数根的存在性和任意性，属于中档题.
（1）直接根据奇函数的定义求解即可；
（2）利用作差法来证明函数的单调性；
（3）先记时，的值域为A，时，的值域为B，然后得出，再求出，得到，，对m进行分类讨论即可求出m的取值范围.
19.【答案】解：（1），不具有性质.
，，，具有性质；
（2）将集合中的元素分为如下10个集合，
，，，，，，，，，.
所以从集合中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，不可能具有性质；
（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为，，，，，，7个集合，
①，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，；选6则不选2，；选7则不选3，；则只剩4，.故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
②，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，…11中属于集合A的元素个数不超过5个.
③，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为，
则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个.
给出如下选取方法：从1，2，…，11中选取1，4，6，7，；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.
此时集合A的元素为：1，4，6，7，；，15，17，18，；，26，28，29，；；，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有455个.
【解析】本题考查集合新定义问题
（1）根据定义判断是否具有性质即可；
（2）将集合中的元素分为10个集合，进行求解即可；
（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，然后求出集合A中共有455个元素，即可。