重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了32，请将答案正确填写在答题卡上，已知直线，设直线，若，，，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1.直线与直线的交点坐标为（ ）
A.B.C.D.
2.在长方体中，等于（ ）
A.B.C.D.
3.已知平行四边形中，，，，则顶点D的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则下列选项正确的是（ ）
A.B.
C.，D.，
5.已知直线：的倾斜角为，则（ ）
A.B.C.D.
6.在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，已知二面角的大小为60°，，，，，且，，则（ ）
A.B.6C.D.7
8.设直线：，点，，P为上任意一点，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题
9.若，，，则下列说法正确的是（ ）
A.B.事件A与B不互斥
C.事件A与B相互独立D.事件与B不一定相互独立
10.若直线：不经过第四象限，则实数a的可能取值为（ ）
A.B.C.3D.4
11.已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ）
A.已知，，则
B.已知，，则
C.已知，，，则三棱锥的体积
D.已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值
第II卷（非选择题）
三、填空题
12.设空间向量，，若，则__________.
13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C，D四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为__________.
14.在正方体中，点Р在侧面（包括边界）上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是__________.
四、解答题
15.求经过直线：与直线：的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
16.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.
（1）求平面；
（2）求直线与平面成角的正弦值.
17.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足.
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求的最小值.
18.2020年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：
已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人.
（1）求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；
（2）在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；
（3）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进
行整改.已知频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该项
目能否通过验收，并说明理由.
（注：满意指数=）
19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
参考答案
一、单选题
1.【答案】A
【分析】由两直线交点坐标的求法，只需联立两直线方程，解方程组即可得解.
【详解】解：联立两直线方程，解得，故两直线的交点坐标为，
故选A.
2.【答案】B
【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】如图，可得，，所以.
故选：B
3.【答案】D
【分析】利用，代入坐标运算，即可求解.
【详解】因为四边形是平行四边形，所以，
设点，，，
所以，解得：，，，
即定点D的坐标是.
故选：D
4.【答案】C
【分析】根据可得与共线，由向量的坐标表示可得答案.
【详解】若，则，
即，解得，且，即.
故选：C.
5.【答案】D
【分析】由直线方程可得，计算得出正弦、余弦值再利用二倍角公式计算可得结果.
【详解】将直线方程化为斜截式得，即，
所以，又，，得，，
所以.
故选：D
6.【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.
【详解】由，得，
又平面，平面，
则，，
以A为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，设直线与平面所成角为，
则，所以.
故选：A
7.【答案】A
【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】因为二面角的大小为60°，，，，，，
所以与的夹角为120°，又因为，
所以
，
所以，即.
故选：A.
8.【答案】B
【分析】先求得点关于直线的对称点的坐标，则即为的最小值.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则有，解之得，则，
则的最小值为
故选：B
二、多选题
9.【答案】BC
【分析】利用对立事件概率和为1可判断A错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断B正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断C正确，D错误.
【详解】∵，∴，故A错误；
又，所以事件A与B不互斥，故B正确；
∵，则事件A与B相互独立，故C正确；
因为事件A与B相互独立，所以事件与B一定相互独立，故D错误.
故选：BC.
10.【答案】BC
【分析】由直线过定点，讨论直线斜率范围即可.
【详解】直线方程可化为，
由，解得，即直线过定点，定点在第二象限，
直线：不经过第四象限，则直线斜率不存在或斜率大于等于0，
时，直线斜率不存在；
斜率大于等于0，即，解得.
综上可知，实数a的取值范围为，BC选项符合.
故选：BC.
11.【答案】BC
【分析】对于A，根据“仿射”坐标的定义结合向量数量积的定义分析判断，对于B，根据“仿射”坐标的定义结合向量的加减法运算分析判断，对于C，由题意可得三棱锥是棱长为1的正四面体，从而可求出其体积，对于D，根据“仿射”坐标的定义结合向量的夹角公式分析判断.
【详解】对于A，，，∴，
∵，∴，故A错；
对于B，∵，，
∴，
∴，
∴，故B对；
对于C，由题意，三棱锥是棱长为1的正四面体，
则正四面体的高为，
∴，故C对；
对于D，由，，得，
∴，，，
∴
当时，，
当时，，则与的夹角不一定取得最小值，故D错.
故选：BC.
三、填空题
12.【答案】5
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：5
13.【答案】/0.25
【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可.
【详解】甲、乙选择的景点可能为：
，，，，，，，，，，，，，，，共16种可能；
甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为，，，共4种可能；
因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为.
故答案为：.
14.【答案】
【分析】利用坐标法，可得点在上，然后利用线面角的向量求法可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，
由题可设，则，，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15.【答案】（1）；（2）.
【分析】先求出交点坐标，再根据直线的点斜式，即可求解.
【详解】解：（1）∵直线：与直线：的交点M，
∴，解得，所以交点，
∵所求直线方程与直线平行，
∴所求直线的斜率为-2，∴所求直线方程为，即.
（2）∵所求直线与直线垂直，
∴所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，即
16.【答案】（1）见解析
（2）
【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行；
（2）利用空间向量求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，得，，，，
则，，
设平面的法向量，
，所以，取，得.
因为，
所以.所以.
又面.
所以面.
（2），正方体中，平面
故是平面的法向量，
因为，
所以，
所以直线和平面所成的角的正弦值为.
17.【答案】（1）
（2）4
【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角B的值；
（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为B是三角形内角，所以；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，此时为等边三角形.
18.【答案】（1），不满意的人数为120人；（2）；（3）能通过验收，理由见解析.
【分析】（1）由频率分布直方图知，，进而可得结果.
（2）由分层抽样可得中青年抽取4人分别记为、、、，老年人抽取2人分别记为、，由古典概型即可得出结果.
（3）计算可得市民满意程度的平均得分为80.7，进而可得结果.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075，
由解得，
设总共调查了N个人，则基本满意的为，解得人.
不满意的频率为，所以共有2000×0.06=120人，即不满意的人数为120人.
（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则中青年抽取4人分别记为、、、，老年人抽取2人分别记为、，从6人中选取2人担任整改督导员的所有的抽取方法有
、、、、、、、、、、、、、、共15种，
抽不到老年人的情况为6种，所以至少有一位老年督导员的概率.
（3）所选样本满意程度的平均得分为：
，
估计市民满意程度的平均得分为80.7，
所以市民满意指数为，
故该项目能通过验收.
19.【答案】（1）证明见解析
（2）①或；②不存在点G，理由见解析
【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得t的值；
②假设存在点G，可由推得，得点G坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立.
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以A为原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因，则，，
所以，，
①设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或，
②如图，假设在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上.
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意