第03讲 二项式定理（十五大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：求二项展开式中的参数
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）的展开式中项的系数为84，则实数 ．
2．二项式的展开式中前三项的系数和为，则 ；
3．已知展开式中的常数项是，则实数的值为
4．（2024·河北沧州·三模）已知的二项展开式中常数项为60，则 .
题型二：求二项展开式中的常数项
5．（2024·新疆·三模）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为 .（用数字作答）
6． 展开式中的常数项为 .
7．（2024·河北唐山·一模）在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
8．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为 .
题型三：求二项展开式中的有理项
9．写出展开式中的一个有理项为 .
10．在的展开式中，有理项有 项．
11．（2024·高三·江西·开学考试）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项 ．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
12．（2024·高三·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为 .
13．（2024·安徽芜湖·三模）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示）
14．（2024·高三·北京·期中）在的二项展开式中，第四项为 ．
15． 的展开式的第4项是 .
题型五：求三项展开式中的指定项
16．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．20D．30
18．（2024·浙江·一模）展开式中含项的系数为（ ）
A．30B．C．10D．
19．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．30B．45C．60D．90
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
20．若的展开式中的系数为，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（ ）
A．56B．C．106D．
22．（2024·广西南宁·一模）展开式中的常数项为（ ）
A．60B．4C．D．
23．（2024·广东汕头·一模）展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．D．
题型七：求二项式系数最值
24．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为 .
25．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为 .
26．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 .
27． 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
题型八：求项的系数最值
28．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．二项式的展开式中，系数最大项的是（ ）
A．第项B．第项和第项
C．第项D．第项
30．（2024·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（ ）
A．第二项B．第三项C．第四项D．第五项
31．（2024·全国·模拟预测）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70B．56C．或D．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
32．已知，则（ ）
A．9B．10
C．19D．29
33．若，则的值为（ ）
A．B．C．253D．126
34．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．已知的展开式中各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，则展开式中的常数项为（ ）
A．180B．60C．280D．240
题型十：求奇数项或偶数项系数和
36．（2024·高三·上海普陀·期末）已知，则 （用数字作答）．
题型十一：整数和余数问题
37．（2024·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
38．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（ ）
A．虎年B．马年C．龙年D．羊年
39．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1B．3C．5D．7
40．（2024·福建三明·三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数转换为十进制数的算法为．若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型十二：近似计算问题
41．（2024·高三·河北·开学考试）已知二项式的二项式系数的和为，则 .试估算时，的值为 .（精确到）
42．（2024·广东深圳·模拟预测）定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．
（1） ；
（2）当为奇数时， ．
43． 的小数点后第100位数字是 ．
44．实数精确到的近似值为 .
45．（2024·高三·山西朔州·开学考试）的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
题型十三：证明组合恒等式
46．
47．
48．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
49．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
(1)计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.
50．已知．
(1)求的值
(2) ①证明：，其中，，，，；
②利用的结论求的值．
题型十四：二项式定理与数列求和
51．设n为正整数，为组合数，则（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
52．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（ ）
A．B．C．D．
53．（2024·江西南昌·模拟预测）记，则 ．
54．设，则的值为 .
55．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知，则 ．
56．（2024·高三·重庆·开学考试）已知，则 .
题型十五：杨辉三角
57．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示）
58． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 .
59．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 .
60．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则 .
61．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ．
62．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示：
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1

如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图：
第0行 0
第1行 0 1
第2行 0 2 2
第3行 0 3 6 3
第4行 0 4 12 12 4
第5行 0 5 20 30 20 5
第6行 0 6 30 60 60 30 6

在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为 ；从第一行开始的前行的所有数的和为 ．
63．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则 ．
1．若，则（ ）
A．180B．C．D．90
2．（2024·高三·四川成都·开学考试）已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．
4． ，则等于（ ）
A．180B．C．45D．
5．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6B．10C．55D．63
6．（2024·四川·模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．9B．15C．21D．24
7．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
8． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
9．（多选题）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项B．二项式系数最大的项是第4项
C．展开式的常数项为540D．展开式含有
10．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项D．有理项共有4项
11．（多选题）若，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）已知，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．若，则 ．
14．（2024·高三·全国·自主招生），则 .
15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则 .
16．（2024·高三·湖北·开学考试）在的展开式中，若的系数为，则 .
17．（2024·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ．
18．（2024·高三·上海·开学考试）设，若，则 .
1．（2024年上海秋季高考数学真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
2．（2023年天津高考数学真题）在的展开式中，的系数为 ．
3．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则 ， ．
4．（2022年新高考全国I卷数学真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
5．（2022年新高考天津数学高考真题）在的展开式中，常数项是 .
6．（2021年天津高考数学试题）在的展开式中，的系数是 ．
7．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式，则 ， .
8．（2021年北京市高考数学试题）在的展开式中，常数项为 ．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc179363956" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc179363956 \h 2
\l "_Tc179363957" 题型一：求二项展开式中的参数 PAGEREF _Tc179363957 \h 2
\l "_Tc179363958" 题型二：求二项展开式中的常数项 PAGEREF _Tc179363958 \h 2
\l "_Tc179363959" 题型三：求二项展开式中的有理项 PAGEREF _Tc179363959 \h 2
\l "_Tc179363960" 题型四：求二项展开式中的特定项系数 PAGEREF _Tc179363960 \h 3
\l "_Tc179363961" 题型五：求三项展开式中的指定项 PAGEREF _Tc179363961 \h 3
\l "_Tc179363962" 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 PAGEREF _Tc179363962 \h 3
\l "_Tc179363963" 题型七：求二项式系数最值 PAGEREF _Tc179363963 \h 4
\l "_Tc179363964" 题型八：求项的系数最值 PAGEREF _Tc179363964 \h 4
\l "_Tc179363965" 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 PAGEREF _Tc179363965 \h 5
\l "_Tc179363966" 题型十：求奇数项或偶数项系数和 PAGEREF _Tc179363966 \h 5
\l "_Tc179363967" 题型十一：整数和余数问题 PAGEREF _Tc179363967 \h 5
\l "_Tc179363968" 题型十二：近似计算问题 PAGEREF _Tc179363968 \h 6
\l "_Tc179363969" 题型十三：证明组合恒等式 PAGEREF _Tc179363969 \h 7
\l "_Tc179363970" 题型十四：二项式定理与数列求和 PAGEREF _Tc179363970 \h 8
\l "_Tc179363971" 题型十五：杨辉三角 PAGEREF _Tc179363971 \h 9
\l "_Tc179363972" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc179363972 \h 11
\l "_Tc179363973" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc179363973 \h 14