重难点突破01 数列的综合应用（十三大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc172671537" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc172671537 \h 2
\l "_Tc172671538" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc172671538 \h 3
\l "_Tc172671539" 题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用 PAGEREF _Tc172671539 \h 3
\l "_Tc172671540" 题型二：数列不动点与递推问题 PAGEREF _Tc172671540 \h 6
\l "_Tc172671541" 题型三：数列与函数、不等式的综合问题 PAGEREF _Tc172671541 \h 10
\l "_Tc172671542" 题型四：数列在实际问题中的应用 PAGEREF _Tc172671542 \h 13
\l "_Tc172671543" 题型五：数列不等式的证明 PAGEREF _Tc172671543 \h 16
\l "_Tc172671544" 题型六：公共项问题 PAGEREF _Tc172671544 \h 20
\l "_Tc172671545" 题型七：插项问题 PAGEREF _Tc172671545 \h 24
\l "_Tc172671546" 题型八：蛛网图问题 PAGEREF _Tc172671546 \h 27
\l "_Tc172671547" 题型九：整数的存在性问题（不定方程） PAGEREF _Tc172671547 \h 35
\l "_Tc172671548" 题型十：数列与函数的交汇问题 PAGEREF _Tc172671548 \h 38
\l "_Tc172671549" 题型十一：数列与导数的交汇问题 PAGEREF _Tc172671549 \h 40
\l "_Tc172671550" 题型十二：数列与概率的交汇问题 PAGEREF _Tc172671550 \h 46
\l "_Tc172671551" 题型十三：数列与几何的交汇问题 PAGEREF _Tc172671551 \h 50
\l "_Tc172671552" 03过关测试 PAGEREF _Tc172671552 \h 54
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
【典例1-1】（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【解析】设，则，
因为，
可知数列为递增数列，
且，
，
可知，所以.
故选：C.
【典例1-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（ ）

A．8.8升B．9升C．9.1升D．9.2升
【答案】B
【解析】设第节竹筒盛米升，
则数列为等差数列，，
设公差为，
则有，解得，
所以，
则该九节竹一共盛米升.
故选：B.
【变式1-1】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.
从而有，
整理得，
，
，
，，
由于皆为正整数，所以
（i）当时，，
当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
故选：B.
【变式1-2】（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元B．353.8亿元C．363.2亿元D．283.8亿元
【答案】B
【解析】设第年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润是以2为首项，0.2为公差的等差数列，
所以，设第年新能源汽车的销量为辆，
则该汽车的销量是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以，
设该车企销售新能源汽车的总利润为，
①，
，②
①-②得：
，
所以万元，即亿元，
故选：B.
题型二：数列不动点与递推问题
【典例2-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，的前n项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意，不可能为常数数列
B．当时，为递减数列
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】因为，，故.
对于A，当时，，即数列为常数数列，故A错误；
对于B，当时，，
若存在，使得等号成立，则，故，故，
依次有，矛盾，故,
则，即，所以为递减数列，故B正确；
对于C，由得，由A，B知，当时，，
故，则，
故，当n＝2时，，此时等号成立，故C正确；
对于D，由题有，，则，两式相减得，
故，
所以
（提示：），故D正确．
故选：BCD．
【典例2-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．若数列为常数列，则
C．若数列为递增数列，则D．当时，
【答案】AD
【解析】对于A，当时，，令，则，，故，即，A正确；
对于B，若数列为常数列，令，则，解得或或，B不正确；
对于C，令，则，
若数列为递增数列，则数列为递增数列，则，解得或.
当时，，且，
，此时数列为递增数列，即数列为递增数列；
当时，，且，
，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列；
当时，，
，此时数列为递增数列，即数列为递增数列.
综上，当或，即或时，数列为递增数列，C不正确；
对于D，令，则，，两边同时取以2为底的对数，得，，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
，即，D正确.
故选：AD.
【变式2-1】已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列是递减数列；
③数列的前项和；
④数列每一项都满足成立.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③
C．①②③D．①②④
【答案】D
【解析】对①：，，
当时，，所以，
假设当时，；
则当时，；
综上，，正确；
对②：，故数列是递减数列，正确；
对③：，，，，，错误；
对④：当时，成立，
假设时成立，即，
当时，函数在上单调递增，
则，
故时成立.
综上所述：数列每一项都满足成立，正确.
故选：D.
【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）设数列满足，其中c为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ）
A．c∈[0,1]是的充分必要条件B．当c>1时，一定是递减数列
C．当c