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第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第02讲等差数列及其前n项和十大题型练习原卷版docx、第02讲等差数列及其前n项和十大题型练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
题型一：等差数列的基本量运算
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
2．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·河北·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型二：等差数列的判定与证明
5．已知数列满足：，，.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
6．数列的前项和为，且，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
7．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知各项均为正数的数列中，为的前项和，．证明：数列是等差数列；
8．（2024·高三·山东·开学考试）记数列的前项和为，已知．证明：；
题型三：等差数列的性质
9．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列的前n项和为，若，则 ， .
10．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列中，，则 .
题型四：等差数列前n项和的性质
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
12．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
13．设是等差数列的前项和，，，则 .
题型五：等差数列前n项和的最值
14．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（ ）
A．6B．7C．8D．9
15．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最大值．
17．在等差数列中，已知：，.
(1)求数列的公差及通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
18．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值.
题型六：等差数列的实际应用
19．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年B．癸未年C．甲午年D．甲申年
20．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码B．29.5码C．32.5码D．34码
21．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（ ）
A．189B．190C．191D．192
22．（2024·高三·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年B．丁戌年C．戊酉年D．戊戌年
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
23．（2024·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
25．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．
(1)求的通项公式，并证明：；
(2)设，求数列的前项和．
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
27．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
28．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
题型九：利用等差数列的单调性求解
29．（2024·高三·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
30．（2024·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
31．已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为递增数列B．
C．的最大值为D．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
32．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
33．（多选题）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．时，的最小值为2022
C．有最大值D．时，的最大值为4043
34．（多选题）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当为奇数时，
C．D．的取值范围为
1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290B．2540C．2650D．2870
2．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ）
A．是递增数列B．是递增数列
C．D．
3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·青海海西·模拟预测）前项和为的等差数列中，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．1012B．2024C．3036D．4048
8．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A．B．C．49D．149
9．（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．中最小项为
10．（多选题）（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若，且，，则时取最小值
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列中的最大项为
C．D．
12．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则 ； ．
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和.
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.
17．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
18．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.
19．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
20．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列．
(1)求函数的周期和最大值；
(2)求数列的通项公式及前项和．
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
3．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ．
7．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172445288" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc172445288 \h 2
\l "_Tc172445289" 题型一：等差数列的基本量运算 PAGEREF _Tc172445289 \h 2
\l "_Tc172445290" 题型二：等差数列的判定与证明 PAGEREF _Tc172445290 \h 2
\l "_Tc172445291" 题型三：等差数列的性质 PAGEREF _Tc172445291 \h 3
\l "_Tc172445292" 题型四：等差数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc172445292 \h 3
\l "_Tc172445293" 题型五：等差数列前n项和的最值 PAGEREF _Tc172445293 \h 4
\l "_Tc172445294" 题型六：等差数列的实际应用 PAGEREF _Tc172445294 \h 4
\l "_Tc172445295" 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 PAGEREF _Tc172445295 \h 5
\l "_Tc172445296" 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 PAGEREF _Tc172445296 \h 6
\l "_Tc172445297" 题型九：利用等差数列的单调性求解 PAGEREF _Tc172445297 \h 7
\l "_Tc172445298" 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 PAGEREF _Tc172445298 \h 7
\l "_Tc172445299" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc172445299 \h 8
\l "_Tc172445300" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc172445300 \h 12
题型一：等差数列的基本量运算
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
2．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·河北·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型二：等差数列的判定与证明
5．已知数列满足：，，.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
6．数列的前项和为，且，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
7．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知各项均为正数的数列中，为的前项和，．证明：数列是等差数列；
8．（2024·高三·山东·开学考试）记数列的前项和为，已知．证明：；
题型三：等差数列的性质
9．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列的前n项和为，若，则 ， .
10．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列中，，则 .
题型四：等差数列前n项和的性质
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
12．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
13．设是等差数列的前项和，，，则 .
题型五：等差数列前n项和的最值
14．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（ ）
A．6B．7C．8D．9
15．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最大值．
17．在等差数列中，已知：，.
(1)求数列的公差及通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
18．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值.
题型六：等差数列的实际应用
19．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年B．癸未年C．甲午年D．甲申年
20．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码B．29.5码C．32.5码D．34码
21．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（ ）
A．189B．190C．191D．192
22．（2024·高三·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年B．丁戌年C．戊酉年D．戊戌年
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
23．（2024·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
25．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．
(1)求的通项公式，并证明：；
(2)设，求数列的前项和．
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
27．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
28．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
题型九：利用等差数列的单调性求解
29．（2024·高三·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
30．（2024·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
31．已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为递增数列B．
C．的最大值为D．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
32．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
33．（多选题）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．时，的最小值为2022
C．有最大值D．时，的最大值为4043
34．（多选题）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当为奇数时，
C．D．的取值范围为
1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290B．2540C．2650D．2870
2．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ）
A．是递增数列B．是递增数列
C．D．
3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·青海海西·模拟预测）前项和为的等差数列中，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．1012B．2024C．3036D．4048
8．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A．B．C．49D．149
9．（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．中最小项为
10．（多选题）（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若，且，，则时取最小值
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列中的最大项为
C．D．
12．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则 ； ．
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和.
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.
17．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
18．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.
19．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
20．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列．
(1)求函数的周期和最大值；
(2)求数列的通项公式及前项和．
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
3．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ．
7．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172445288" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc172445288 \h 2
\l "_Tc172445289" 题型一：等差数列的基本量运算 PAGEREF _Tc172445289 \h 2
\l "_Tc172445290" 题型二：等差数列的判定与证明 PAGEREF _Tc172445290 \h 2
\l "_Tc172445291" 题型三：等差数列的性质 PAGEREF _Tc172445291 \h 3
\l "_Tc172445292" 题型四：等差数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc172445292 \h 3
\l "_Tc172445293" 题型五：等差数列前n项和的最值 PAGEREF _Tc172445293 \h 4
\l "_Tc172445294" 题型六：等差数列的实际应用 PAGEREF _Tc172445294 \h 4
\l "_Tc172445295" 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 PAGEREF _Tc172445295 \h 5
\l "_Tc172445296" 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 PAGEREF _Tc172445296 \h 6
\l "_Tc172445297" 题型九：利用等差数列的单调性求解 PAGEREF _Tc172445297 \h 7
\l "_Tc172445298" 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 PAGEREF _Tc172445298 \h 7
\l "_Tc172445299" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc172445299 \h 8
\l "_Tc172445300" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc172445300 \h 12
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