第03讲 导数与函数的极值、最值（七大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：求函数的极值与极值点
1．已知函数，当时，求的极值.
【解析】易知的定义域为，
由可得，
当时，，
令可得；
因此当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值；
所以的极小值为，无极大值.
2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求出的极小值．
【解析】（1）当时，，
则，
所以，
又知，
所以在点处的切线方程为．
（2）因为，
令，
则或，
所以当时，，
当或时，．
综上，在上单调递减，在和上单调递增；
所以．
3．已知，函数．证明存在唯一的极值点.
【解析】令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，
画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
题型二：根据极值、极值点求参数
4．已知函数在时有极值0，则 ．
【答案】11
【解析】由函数，得，
由题意得，解得或，
当时，，仅当时等号成立，
此时在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
令，则或，令，则，
即在上均单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，且，则，
即符合题意，故，
故答案为：11
5．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
6．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，可得，
因为函数在上有2个极值点，即在上有两解，
即在上有两解，
令且，可得，
当时，可得，单调递增，不符合题意，（舍去）；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，取得极小值，极小值为，
要使得在上有两解，则满足，
当时，解得；
当，即，
设，其中，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又因为，所以，
所以不等式，可得，
由可得，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
7．已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】对函数求导得：，
因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点．
令，有 ，令，，
所以与有两个交点；
当时，，，
设过原点的直线与的切点坐标为，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
将原点坐标带入切线方程得．
此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，
即，因为，有，所以，所以；
同理知当时，， ， 即，所以．
综上知：的取值范围为．
故答案为：
题型三：求函数的最值（不含参）
8．函数在区间上的最大值是 ．
【答案】
【解析】，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故.
故答案为：.
9．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【解析】，
当时，，递增；当时，，递减；
，，，
故最大值与最小值的和为：．
故答案为：
10．函数在区间上的最大值是 ；最小值是 ．
【答案】 5
【解析】由，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
函数在处取到极小值，
当时，，当时，，则函数在处取到极大值5
所以函数在区间上的最大值是5，最小值是.
故答案为：5；
题型四：求函数的最值（含参）
11．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值.
【解析】（1）因为，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，无最大值．
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
当，即时，在单调递减，
；
当时，即在单调递减，单调递增，．
当时，在单调递增，；
综上所述.
12．已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)当时，若函数在上的最小值为0，求实数的值.
【解析】（1）当时，，定义域为，
，又，
所以切线方程为（或写成.
（2），定义域为，，令得；
①当，即时，在上单调递增，
这时，不合题意，舍去；
②当，即时，
当单调递减单调递增，
这时，解得；
③当，即时，在上单调递减，
这时，解得（舍去），
综上：.
13．已知函数，其中，求函数在区间上的最小值．
【解析】函数的定义域为，
，，
令，得或（舍），
当，即时，当时，，则在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为，
当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为，
当，即时，当时，，则在上单调递减，
所以函数在区间上的最小值为，
综上.
14．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若的最小值不大于0，求的取值范围.
【解析】（1）由函数，则其定义域为，
求导可得，令，解得，
当时，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知，当时，无最小值；
则当时，在单调递减，在单调递增，
则，
由题意可得：，由，则，解得.
15．（2024·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最大值.
【解析】（1）当时，，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
函数的极大值为，没有极小值.
（2）由题意得.
若，当时，，在区间上单调递增，
此时的最大值为；
若，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时的最大值为；
若，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时的最大值为；
若，则，当时，，在区间上单调递增，
此时的最大值为.
综上可得，.
题型五：根据最值求参数
16．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得，
所以当或时，，当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
于是得，且，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ．
【答案】3
【解析】当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，取得最小值，
解得，．
故答案为：3．
18．（2024·高三·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得，函数的定义域为，
易知，
若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点，
又，不妨设为方程的两个不相等实数根，
则有，不妨令，因此即可；
令，根据零点存在定理可得，
解得；
经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为.
故答案为：
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用
19．（2024·高三·浙江杭州·期中）设，已知函数，.
（Ⅰ）设，求在上的最大值.
（Ⅱ）设，若的极大值恒小于0，求证：.
【解析】（Ⅰ）由题知，
当时，；当时，
从而的单调递增区间是，递减区间是
从而，,
于是；
当时，，所以;
当时，，所以；
综上所得
（Ⅱ）依题知，则，因为存在极大值，则关于x的方程，有两个不等的正根，不妨，则，得，且,
设列表如下：
从而极大值，又，
从而，对恒成立,
设，，则
因为，所以
所以在上递增，从而
所以，,
设，则，又.
若，；若，；
从而，即.
20．已知函数．
(1)当在处取得极小值－1时，求的解析式；
(2)当时，求在区间上的最值；
(3)当且时，若，，求a的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
又在处取得极小值－1，所以，，
即，解得所以．
此时，
所以在内单调递减，在内单调递增，
在处取得极小值－1，满足题意．
综上，的解析式为．
（2）当时，，．
①当时，在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为．
又，，
所以，
故的最大值为；
②当时，在内单调递增，在内单调递减，所以的最大值为，
此时，
故的最小值为．
综上，当时，在区间上的最小值为，最大值为；
当时，在区间上的最大值为，最小值为．
（3）当且时，，．
令，解得，所以在内单调递减，在内单调递增．
①当时，，在内单调递增，所以；
②当时，，在内单调递减，在内单调递增，
所以，不满足题意，综上，a的取值范围为．
21．已知，.
(1)证明：当，有且只有2个零点；
(2)讨论是否存在使有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）
【解析】（1）因为，所以定义域为，，
因为，所以令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有最大值为，
因为，所以，所以，
因为当时，单调递减，且，所以在上只有一个零点；
因为当时，单调递增，且，
所以在上只有一个零点；
综上，当，有且只有2个零点.
（2）令，
则定义域为，，
令，则，
因为，所以令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
当，即时，，即恒成立，
所以单调递减，此时不满足题意；
当，即时，
由于当时，，当时，，
所以有两个解，即有两个解，且从递增到一个正数，然后再递减到，
所以存在极小值，
即存在使得有极小值.
题型七：不等式恒成立与存在性问题
22．已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴当时，，在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为；
又∵，
∴由二次函数知识，在上的最小值为，
若，，使成立，等价于，即，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
23．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：，
因为，则，
注意到，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
又因为，由二次函数性质可知，
可得，即实数的取值范围是.
故选：C.
24．已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，
由，得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，得，
所以，故实数a的取值范围为.
故选：B.
1．（2024·四川眉山·三模）已知函数，则的极大值点为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，故可得 ，
令，因为，故可得或，
则当时，；
当时，；
所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.
故答案为：.
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）若为函数的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，，
则为函数的一个极值点等价条件为：，
且在的左右两侧取值异号.
对于选项A，，，，
且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.
对于选项B，，，，且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.
对于选项C，，，，在的左右两侧可取异号，故可能符合条件.
对于选项D，，，因此，不满足条件.
故选：D.
3．（2024·浙江台州·二模）已知函数，满足，则（ ）
A．函数有2个极小值点和1个极大值点
B．函数有2个极大值点和1个极小值点
C．函数有可能只有一个零点
D．有且只有一个实数，使得函数有两个零点
【答案】A
【解析】设
所以
设，由.
所以，因为二次函数的开口向上，对称轴方程为.
所以方程有两个不等实数根，则设.
则令可得或.
令可得或.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又当时，，
又，所以
由，所以
所以
根据单调性可知，函数有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A正确，B不正确.
根据函数的单调性，可画出函数的大致草图如下.
当时，函数没有零点
当时，函数有两个零点
当时，函数有四个零点
当时，函数有三个零点
当时，函数有两个零点
由上可知选项C,D都不正确.
故选：A
4．（2024·全国·二模）已知是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，，
当时，时，，单调递减，而，
时，，，
且，，
即在上单调递增，
时，，，
且，，
即在上单调递减，
是函数的极大值点，满足题意.
当时，存在使得，即，，
又在上单调递减，
时，，，
这与是函数的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是.
故选：B
5．（2024·甘肃兰州·一模）已知定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将题干中的等式变形为，可得出，并构造函数，可得出，进而可得出，利用求得的值，可得出函数的解析式，进而利用导数可求得函数的最小值.由，变形得，即，
（为常数），则，，得.
，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则.
故选：D.
6．（2024·湖南怀化·二模）若在上恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分离参数可得，只需，设，求导函数，分别令或或，求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值即可.，
设，
则，
令，则，解得，所以函数在上单调递增；
令，则，解得，所以函数在上单调递减；
令，则，解得，所以函数在处取得极小值，
故，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：A
7．（2024·四川成都·二模）已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
8．（2024·辽宁鞍山·三模）已知函数有三个极值点，则的取值范围是
A．B．(, )C．D．(，）
【答案】C
【解析】函数的导数，
若函数有三个极值点，
等价为有三个不同的实根，
即，
即，
则，则，有两个不等于的根，
则，
设，
则，
则由得，由得且，
则当时，取得极小值（1），
当时，，
作出函数，的图象如图，
要使有两个不同的根，
则满足，
即实数的取值范围是，
故选．
9．（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
【答案】AB
【解析】由题意，点在函数的图象上，故；
又.
由，即.故A正确；
所以，所以.
由或.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；极小值为，
所以极大值与极小值之和为：，故B正确；
因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又，，
所以函数在上的最小值为，故D错.
故选：AB
10．（多选题）（2024·辽宁大连·二模）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．的值域是
C．方程有三个实数解
D．对于，（）满足，则
【答案】ACD
【解析】，
当时，，在上单调递增；
当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减；
综上可得在上是增函数，故A正确；
，，故B不正确；
方程，可得或，，方程共有三个实数解，故C正确；
满足，即，
则，
化简得
，
当且仅当时取等号
令，则，解得，故，故D正确
故选：ACD．
11．（多选题）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点D．
【答案】BD
【解析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，
若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；
故选：BD
12．已知，对任意的都有，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.由得或，
在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.
又，，，
∴，
又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，
∴，即a的取值范围是
故答案为：.
13．（2024·山东青岛·一模）函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a＝0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；
若a，则f′（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得f（x）在x＝2处取得极小值；不满足题意．
当0＜a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得f（x）在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：（﹣∞，）．
故答案为．
14．已知函数.若是在上的极小值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，
令，
解得，.
若,则在上单调递增；在内单调递减；在上单调递增，
∴在上，是极大值点，是极小值点，不合题意；
当时，在上，恒成立，单调递增，没有极值点，不合题意；
当时，在内单调递减；在上单调递增，∴是在上的极小值点，符合题意，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
15．（2024·重庆·一模）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若存在唯一极值点，求的取值范围.
【解析】（1）由题知，，
即，
令，则，
故在和上单增，在上单减，
又，，
所以，或，
从而或，，
∴在和上单增，在上单减；
（2）由题知，，
即，
令，则，
或，，
即在和上单增，在上单减，
∵且时，时，
∴在上唯一零点，记为，
当时，，，单增，当时，，，单减，
∴为的极小值点，由题知有唯一极值点，故在上无极值点，
在上，由的单调性可知，的极大值为，
且时，且时，
故当时，，在上单增，
在上无极值点；
当时在和内各存在一个零点，分别记为，，则或时，，单增，时，，单减，所以为的极大值点，为的极小值点，不合题意，舍去；
综上，，即，化简得.
∴实数的取值范围是.
16．已知函数，
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），，注意到，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零，
所以在及上递增；
（2）由（1）知，，，，则，
由恒成立，即，
即，
即，
记，，
则，
故在上为增函数，
，
故.
17．（2024·安徽淮北·二模）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，证明：．
【解析】解析：（1）当时，，定义域为，
在定义域上恒成立，
所以在上单调递减，当时，；当时，．原命题得证．
（2），若存在两个极值点，则，解得．由韦达定理可知，
原命题即证：．
不妨设，原命题即证：，由（*）知，
齐次化，即证：，不放令，
原命题即证：，记，
则，
当时，在上单调递减，．
原命题得证．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线在处的切线方程为，且．
（1）求的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），∴，
，，
，，
切线方程为,即,
∴．
（2）由（1）知，函数定义域为，
所以，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．
（3）令,
，，,
当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意；
当时，设，
①当，，，所以在上单调递增，
，所以在上单调递增，所以，
所以符合题意；
②当时，，，所以在上递增，
在上递减，，所以当，，
所以在上单调递减，，所以，，舍去.
综上：.
19．已知函数（，）．
（1）当，时，求曲线在点处的切线方程．
（2）设，是的两个极值点，是的一个零点，且，．证明：存在实数，使得，，，按某种顺序排列后构成等差数列，并求的值．
【解析】（1）当，时，，
因为，
故．
又，所以曲线在点处的切线方程为
（2）因为，
由于，故，
所以的两个极值点为，．
不妨设，，
因为，，且是的零点，故．
又，
所以，
此时，，，成等差数列，
所以存在实数，满足题意，且．
1．（2024年天津高考数学真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
【解析】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.
（2）设，则，从而当时，当时.
所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.
设，则
.
当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.
一方面，若对任意，都有，则对有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，则对任意都有，满足条件.
综合以上两个方面，知的值是2.
（3）先证明一个结论：对，有.
证明：前面已经证明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知当时，当时.
所以在上递减，在上递增.
不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有.
对任意的，设，则.
由于单调递增，且有
，
且当，时，由可知
.
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.
故在上递减，在上递增.
①当时，有；
②当时，由于，故我们可以取.
从而当时，由，可得
.
再根据在上递减，即知对都有；
综合①②可知对任意，都有，即.
根据和的任意性，取，，就得到.
所以.
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.
而根据的单调性，知或.
故一定有成立.
综上，结论成立.
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
【解析】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
3．（2024年上海夏季高考数学真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
【解析】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，故在点处的切线方程为.
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域R上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
6．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，
则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
9．（2021年全国新高考I卷数学试题）函数的最小值为 .
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
10．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【解析】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【解析】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
14．（2021年天津高考数学试题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc168665893" 01模拟基础练 PAGEREF _Tc168665893 \h 2
\l "_Tc168665894" 题型一：求函数的极值与极值点 PAGEREF _Tc168665894 \h 2
\l "_Tc168665895" 题型二：根据极值、极值点求参数 PAGEREF _Tc168665895 \h 3
\l "_Tc168665896" 题型三：求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc168665896 \h 6
\l "_Tc168665897" 题型四：求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc168665897 \h 7
\l "_Tc168665898" 题型五：根据最值求参数 PAGEREF _Tc168665898 \h 11
\l "_Tc168665899" 题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 PAGEREF _Tc168665899 \h 13
\l "_Tc168665900" 题型七：不等式恒成立与存在性问题 PAGEREF _Tc168665900 \h 16
\l "_Tc168665901" 02重难创新练 PAGEREF _Tc168665901 \h 18
\l "_Tc168665902" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc168665902 \h 33
+
0
—
0
+
+
0
—
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增