专题练6.2　等差数列（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材）

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五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=( )
A.72 B.73 C.-13 D.-711
2.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=
.
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=( )
图1
图2
B.0.8 D.0.9
2.(2020课标Ⅱ理,4,5分,中)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
3.(2023全国乙理,10,5分,中)已知等差数列{an}的公差为2π3,集合S={cs an|n∈N*}.若S={a,b},则ab=( )
A.-1 B.-12 C.0 D.12
4.(2022全国乙文,13,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .
5.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=
.
6.(2020新高考Ⅰ,14,5分,易)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
7.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
8.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
考点2 等差数列的性质及应用
1.(2023全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5= ( )
A.25 B.22 C.20 D.15
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}( )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,易)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
三年模拟
练速度
1.(2024安徽合肥一六八中学适应性测试,3)数列{an}中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=( )
A.210 B.190 C.170 D.150
2.(2024山东济宁一模,3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S6=9,则S10=( )
A.14 B.16 C.18 D.20
3.(2024北京人大附中检测,5)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则“Sn≥nan”是“{an}是递减数列”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024广东汕头一模,2)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为( )
A.21 B.24 C.27 D.30
5.(2024山东潍坊一模,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4=( )
A.6 B.7 C.8 D.10
6.(2024福建厦门第二次质检,2)已知正项等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2,则d=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024浙江金华十校联考,5)等差数列{an}的首项为正数,公差为d,Sn为{an}的前n项和,若a2=3,且S2,S1+S3,S5成等比数列,则d=( )
A.1 B.2 C.92 D.2或92
8.(2024湖北七市州调研,6)已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3,a4,a7是等比数列,则当Sn取最大值时,n=( )
A.2或3 B.2 C.3 D.4
9.(多选)(2024东北三省三校第一次联考,9)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是( )
A.若a3+a7=4,则S9=18
B.若S15>0,S16a92
C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17
D.若a8=S10,则S9>0,S100,bn=4Snan·an+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tnan的n的最小值.
解析 (1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,①
a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②
将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.
解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.
(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.
Sn=na1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
Sn>an⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,
解得n6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
三年模拟
练速度
1.(2024安徽合肥一六八中学适应性测试,3)数列{an}中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=( C )
A.210 B.190 C.170 D.150
2.(2024山东济宁一模,3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S6=9,则S10=( D )
A.14 B.16 C.18 D.20
3.(2024北京人大附中检测,5)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则“Sn≥nan”是“{an}是递减数列”的( B )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024广东汕头一模,2)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为( C )
A.21 B.24 C.27 D.30
5.(2024山东潍坊一模,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4=( C )
A.6 B.7 C.8 D.10
6.(2024福建厦门第二次质检,2)已知正项等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2,则d=( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024浙江金华十校联考,5)等差数列{an}的首项为正数,公差为d,Sn为{an}的前n项和,若a2=3,且S2,S1+S3,S5成等比数列,则d=( B )
A.1 B.2 C.92 D.2或92
8.(2024湖北七市州调研,6)已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3,a4,a7是等比数列,则当Sn取最大值时,n=( B )
A.2或3 B.2 C.3 D.4
9.(多选)(2024东北三省三校第一次联考,9)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是( ACD )
A.若a3+a7=4,则S9=18
B.若S15>0,S16a92
C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17
D.若a8=S10,则S9>0,S100,bn=4Snan·an+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn0,所以an=2n-1,所以Sn=n2.(7分)
则bn=4Snan·an+1=4n2(2n−1)(2n+1)
=4n2−1+1(2n−1)(2n+1)=1+1(2n−1)(2n+1)
=1+1212n−1−12n+1.(10分)
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1+121−13+1+1213−15+1+1215−17+…+1+1212n−1−12n+1
=n+121−13+13−15+15−17+…+12n−1−12n+1
=n+121−12n+1=n+n2n+1.(12分)
故Tn=n+n2n+1=n+12-12(2n+1)