江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试卷

2019～2020学年度如东县第二学期期末学情检测

高 一 数 学

一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若直线经过点，则实数的值

A．1              B．2              C．3             D．4

2. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷两次，则向上的点数之和为的概率为

A．             B．             C．               D．

3. 在△中，已知，则角等于

A．              B．              C．             D．

4. 已知直线，，若，则实数m的值为

A．2  B．1 C．1或2 D．0或

5. 已知l，m为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题为真命题的是

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

6. 圆截直线所得的弦长为，则实数

A．  B．  C． D．2

7. 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为

A．  B．  C． D．

8. 关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下表的统计资料：

由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过（　　）年．

A．7  B．8               C．9                D．10

9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，

，BD＝2，则b＝

A．           B．             C．             D．

10. 已知锐角△的内角的对边分别为a，b，c且， 则的取值范围为

A．  B．  C．  D．

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

11. 若圆C1：与圆C2：相切，则m的值可以是

A．16 B．7 C．﹣4 D．﹣7

12. 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则

A．三棱锥的体积为

B．平面截三棱锥所得的截面面积为

C．点与点到平面的距离相等

D．直线与直线垂直

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13. 若x1，x2，…，xn的方差为，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差为  ▲  ．

14. △ABC中，角，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则△ABC一定为  ▲  ． （用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）

15. 设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为  ▲  ．

16. 已知凸四边形ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长

成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边，

对角线，且,又顶点满足，

则凸四边形ABCD的对角线长的范围是  ▲  ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，acosC+ccosA＝2bcosA．

（1）求A；

（2）若B＝45°，a＝2，求b，c．

18．（本小题满分12分）

 在正四棱锥中，E，F分别为棱的中点．

（1）求证：EF∥平面ABCD；

（2）求证：EF⊥平面．

19．（本小题满分12分）

某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．

（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；

（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率．

20. （本小题满分12分）

如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，对角线与相交于点，点为线段上靠近点的三等分点，与底面所成角为.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

21. （本小题满分12分）

已知圆与直线相切.

 （1）求圆的标准方程；

（2）若动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为.

① 记四边形的面积为，求的最小值；

② 证明直线恒过定点.

22. （本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；

（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2019～2020学年度如东县第二学期高一期末学情检测

数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.    2.    3.    4.    5.    6.      7.     8.    9.     10.

二、多选题：多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

11.  12.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13.   14.等边三角形   15.   16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 解：（1）因为：acosC+ccosA＝2bcosA

由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosA．

即sin（A+C）＝2sinBcosA＝sinB，显然sinB≠0．故

因为,所以                           ……………………4分

（2）结合（1）知A＝60°，B＝45°，

故，

而

所以由正弦定理得

解得   ……………………10分

18.  解（1）因为E，F分别为棱PA，PC的中点，

所以EF∥AC，       ……………………2分                   

又因为，，

           所以EF∥平面ABCD．……………………5分          

（2）连结，交于点，连结．

因为为正四棱锥，

       所以．               

又，所以．

又因为，EF∥AC，

           所以EF⊥PO，

在正方形ABCD中AC⊥BD,EF∥AC，

EF⊥BD．                                           ……………………9分

           又，，

           所以，                                 ……………………12分

19. 解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，

解得a＝0.020，b＝0.026，

平均数为：

整理得平均数为112                                            ……………………5分

（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A

由题意，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，

在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，

从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4）（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，

抽取的2名同学的分数恰在同一组内的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（b1，b2），共7种，

所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．………12分

20．解：（1）因为在长方体中，有平面，因为

所以，

因为四边形是正方形，所以，

又，从而平面.

而平面，所以；                       ……………………5分

（2）因为在长方体中，

有、、两两垂直，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立

如下图所示的空间直角坐标系，

由（1）知为直线与平面所成的角，

又因为与平面所成角为，所以，所以.

由，得，可知，所以，

因为，故，

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，

即，令，可得，          ……………………8分

因为平面，所以为平面的法向量，即，

所以.

根据法向量方向与二面角半平面的位置关系，可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.                 ……………………12分

21．解：（1）由题意知，圆心到直线的距离，所以，

故圆C的标准方程为.                   ……………………4分

（2）①圆C的圆心为，半径，

因为、是的两条切线，

所以，，

故

又因为，

根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.   ……………………6分

    易知，当点坐标为时，

.

此时.                            ……………………8分

②设点的坐标为，

因为，

所以四点共圆.且以为直径.

该圆方程为：

又圆的方程为

两圆方程相减得:

即直线AB的方程为，                     ……………………10分

所以直线恒过定点.                         ……………………12分

22. 解：（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，

即函数的定义域为.                     ……………………2分

（2）由，且，

可得，

且为单调递增连续函数，

又函数在上有且仅有一个零点，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围是.                        ……………………6分

（3）由，设，

则，

易证在为单调减函数，在为单调增函数，

当时，函数在上为增函数，所以最大值为，

解得，不符合题意，舍去；

当时，函数在上为减函数，所以最大值为，

解得，不符合题意，舍去；

当时，函数在上增函数，在上为减函数，

所以最大值为或，解得，符合题意，

综上可得，存在使得函数的最大值为4.  ……………………12分