专题27 抛物线（思维导图 知识清单 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

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1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
抛物线是高考考查的重点和热点，其中抛物线的方程、几何性质等常以选择题、填空题的形式出现；抛物线的综合问题如弦长问题、最值问题等通常以解答题形式出现，难度中等。
题型一 抛物线的定义和标准方程
命题点1 定义及应用
例1 已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ．
【答案】2
【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可.
【解析】抛物线准线方程为，则点P到C的焦点距离为，所以．
故答案为：2.
方法归纳： “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
命题点2 求标准方程
例2 （1）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求得抛物线的准线方程为，根据题意，利用抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解.
【解析】由抛物线，可得准线方程为，
因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为，
又因为到轴的距离为5，可得，解得，
所以抛物线的标准方程为．
故答案为：．
（2）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案．
【解析】根据抛物线的定义可得，
又，所以，得，
所以抛物线的方程为．
故答案为：．
方法归纳： 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法；
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
题型二 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】直线的斜率分别为，由倾斜角得出，由题意设直线的方程为，，，，由直线方程与抛物线方程联立可得出，并解出，利用，，，代入得出关于的方程，解之可得．
【解析】由题意设直线的方程为，，，，
焦点为，
直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为，，
是的角平分线，则，即，
所以，即，
由得，，，
，，
又，，，，
代入得．
，
由得
，，
由得，，
所以，化简得，
解得（舍去负值），
所以直线的方程为，即，
故答案为：．
方法归纳： 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
题型三 直线与抛物线
例4 抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（ ）
A．B．弦的中点到轴的距离为
C．D．点的坐标为
【答案】D
【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C．
【解析】对于A，因为抛物线：的焦点为，
由题意，所以，即，故A正确；
对于D，如图：过点作垂直于轴，
因为，所以，
因为，所以，
所以，代入可得，故D错误；
不妨设点在轴下方，
则，所以直线的方程为：，即，
由得，
所以，
对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确；
对于C，，故C正确.
故选：D
方法归纳： (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1