专题18 立体几何小题：截面与动点 -2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25480" 题型一：截面基础 PAGEREF _Tc25480 \h 1
\l "_Tc151" 题型二：截面圆锥型轨迹 PAGEREF _Tc151 \h 2
\l "_Tc15307" 题型三：动点：阿波罗尼斯圆 PAGEREF _Tc15307 \h 4
\l "_Tc31994" 题型四：平行线法做截面 PAGEREF _Tc31994 \h 5
\l "_Tc27770" 题型五：相交线法做截面 PAGEREF _Tc27770 \h 8
\l "_Tc12394" 题型六：截面计算：求面积 PAGEREF _Tc12394 \h 10
\l "_Tc19075" 题型七：截面计算：求周长 PAGEREF _Tc19075 \h 11
\l "_Tc15272" 题型八：动点：恒垂直求截面 PAGEREF _Tc15272 \h 12
\l "_Tc5720" 题型九：动点：恒平行求截面 PAGEREF _Tc5720 \h 14
\l "_Tc30365" 题型十：截面分体积比 PAGEREF _Tc30365 \h 15
\l "_Tc21698" 题型十一：截面最值范围：面积型 PAGEREF _Tc21698 \h 16
\l "_Tc3489" 题型十二：截面最值范围：周长型 PAGEREF _Tc3489 \h 18
\l "_Tc14478" 题型十三：动点：两线动点最值 PAGEREF _Tc14478 \h 18
\l "_Tc28574" 题型十四：动点：表面上动点距离最值 PAGEREF _Tc28574 \h 19
\l "_Tc4993" 题型十五：动点：折线和最值 PAGEREF _Tc4993 \h 20
\l "_Tc16853" 题型十六：动点：折线型“将军饮马”最值 PAGEREF _Tc16853 \h 21
\l "_Tc16783" 结束 PAGEREF _Tc16783 \h 22
题型一：截面基础
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。。
1．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）如图，在圆柱中过AD作与轴截面垂直的一个平面，所得截面图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，则该截面椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·全国·随堂练习）圆锥的截面形状不可能为（ ）
A．等腰三角形B．平行四边形
C．圆D．椭圆
3．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）
4．（2020高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高二下·贵州黔东南·阶段练习）用一个平面截一个正方体，截面图形可以是（ ）
A．三角形B．等腰梯形
C．五边形D．正六边形
题型二：截面圆锥型轨迹
立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
1．（2023·云南文山·模拟预测）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与，有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．其中，，现有一定线段AB，其与平面所成角（如图），B为斜足，上一动点P满足，设P点在的运动轨迹是，则（ ）
A．当，时，是椭圆B．当，时，是双曲线
C．当，时，是抛物线D．当，时，是圆
2．（2023·安徽安庆·一模）.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高二上·山西太原·期中）如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的母线长均为，底面直径均为4.记过两个圆锥轴的截面为，平面与两个圆锥的交线为.已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，若双曲线的两顶点恰为其所在母线的中点，则建立恰当的坐标系后，双曲线的方程可以为（ ）
A．B． C．D．
4．（21-22高二上·河北石家庄·期中）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆 B．
C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
题型三：动点：阿波罗尼斯圆
阿氏圆的定义与应用
定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，圆的半径为，圆心为.
1．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·山西·模拟）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为
A．B．C．D．
3．（2023·四川凉山·二模）如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足．
①直线与点P的轨迹无公共点；②存在点P使得；③三棱锥体积最大值为；
④点P运动轨迹长为．上述说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,,点在棱上,,动点满足为棱的中点,为的中点.以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（ ）
阿波罗尼奥斯
A．若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为
B．若点只在平面内运动,则△的面积最小值为
C．类比阿氏圆定义,点在长方体内部运动时,的轨迹为球面的一部分
D．若点在平面内运动,则点到平面的距离最小值为
5.圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为 ；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为 .
题型四：平行线法做截面
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面
特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。
平行线法。
本题用平行线法，并不太快捷，不过也成立。
平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面

方法如下：
寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）
在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。
注意！注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）
注意这仨面的相交棱，
下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图
分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。

1．（2023·全国·模拟预测）在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A．B．
C．D．
2．（21-22高二下·四川成都·期中）在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①CN与QM共面；
②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关；
③当时，AM⊥QM；
④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
3．（22-23高三·湖南长沙·）如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）

A．三棱锥的体积与点位置无关
B．若为中点，三棱锥的体积为
C．若为中点，则过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D．若与重合，则过点，，作正方体的截面，截面为五边形
4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A．P为中点时，的值最小
B．不存在点P，使得平面平面
C．P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为
D．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为
5．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与的取值无关
B．当时，点Q到直线AC的距离是
C．当时，
D．当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为
题型五：相交线法做截面
1．（2021高三·全国·专题练习）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2B．C．D．
2．（2017·江西九江·三模）如图所示，在棱长为 的正方体中，点分别是棱的中点，过三点作该正方体的截面，则截面的周长为

A．B．
C．D．
3．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·河北张家口·）在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为
A．B．C．D．
5．（22-23高二下·浙江绍兴·期末）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点，过三点的平面截正方体，得到截面多边形，则下列说法正确的是（ ）

A．多边形是一个六边形
B．多边形的周长为
C．平面
D．截面多边形在顶点处的内角的余弦值为
题型六：截面计算：求面积
截面面积计算，可以拆分为三角形或者四边形等容易计算的图形进行计算。关键是要通过平行和垂直找到对应图形的底和高。
1．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点是的重心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则截面的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（ ）
①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.

A．1B．2C．3D．4
3．（20-21高三下·全国·阶段练习）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·辽宁·期中）如图（1）所示，已知点在抛物线上，过作轴于点，且．将曲边三角形如图（2）所示放置，并将曲边三角形沿平面的垂线方向平移一个单位长度（即），得到相应的几何体．取一个底面面积为高为的正四棱锥放在平面上如图（3）所示，这时，平面平面，现用平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为矩形，四边形，截面与平面的距离为），试用祖暅原理，求曲边三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为
B．过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形
C．若平面A1C1E，则点P的轨迹长度为
D．若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为
题型七：截面计算：求周长
1．（23-24高三·湖南·阶段练习）在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点的轨迹长度为；
②线段的轨迹与平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为
A．B．C．D．
3．（2022·福建三明·模拟预测）已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6B．10C．D．
4．（22-23高二上·重庆江津·期末）正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为
A．B． C．D．
5．（22-23高二下·湖南邵阳·期末）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也，合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”，文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥，如图所示，在堑堵中，若，则下列说法中正确的有（ ）

A．四棱锥为阳马，三棱锥为鳖臑
B．点在线段上运动，则的最小值为
C．分别为的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为
D．点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为
题型八：动点：恒垂直求截面
恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
1．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）．
A．B．C．D．
2．（23-24高三·江苏常州·模拟）在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（20-21高二上·江西南昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E是正方形的中心，M为的中点，过的平面与直线DE垂直，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内（含表面）的动点，且满足，则（ ）
A．动点在底面内轨迹的长度是
B．点所在平面截正方体所得截面的面积为
C．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
题型九：动点：恒平行求截面
如果是线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角的余弦值为；②该截角四面体的体积为；③该截角四面体的外接球表面积为 ④该截角四面体的表面积为，则其中正确命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·湖南衡阳模拟）如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为
A．B．C．26D．
3．（21-22高二下·江西南昌·期末）已知正方体的棱长为3，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且该截面的面积为时，线段的长为（ ）
A．B．1C．D．
4．（22-223高三·北京昌平·模拟）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（ ）
A．当时，截正三棱柱所得截面的面积为
B．当时，截正三棱柱所得截面的面积为
C．若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为
D．若，则截正三棱柱所得截面为四边形
题型十：截面分体积比
1．（2022·河南南阳·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山西·模拟预测）如图，长方体中，，，点为线段的中点，点为棱上的动点（包括端点），平面截长方体的截面为，则（ ）
A．截面可能为六边形
B．存在点，使得截面
C．若截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．当与重合时，截面将长方体分成体积比为的两部分
3．（2024高三·全国·模拟）如图.设为正三棱锥（底面是正三角形），作底面，为垂足. 为高上一点，且.过点作底面的平行截面分别交三条棱、、于点、、.点在线段上，过点作底面的平行截面平分正三棱台的体积.则等于（ ）.
A．B． C．D．
4．（23-24高三·安徽芜湖·）在棱长为3的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分点，过A、D1、M作正方体的截面，则这个截面将正方体分成两部分的体积之比（体积较小的与体积较大的之比）为（ ）
A．B．C．D．
5.（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
题型十一：截面最值范围：面积型
求截面最值思维
可以设变量，建立函数模型求最值问题：
1.设元
2.建立二次函数模型
3.计算求解最值。
可以结合图形的特殊性，利用极限思想，以及“特殊值必在特殊位置”猜想法求最值问题：
要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
1．（2023·四川·模拟）已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
2．（2023·广西·模拟预测）在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北·模拟预测）在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·福建泉州·阶段练习）如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A．1B．C．D．4
5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
题型十二：截面最值范围：周长型
1．（2024全国·模拟预测）在直三棱柱中，是上的点，，，，，过三点、、作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·河北邯郸·模拟）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，CC1＝7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（ ）
A．B．4C．6D．10
4.（2023·甘肃定西·模拟预测）如图，四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝3，AD＝PA＝4，E是棱BC上一点，则当截面PDE的周长最短时，PE与AB所成角的余弦值等于 ．

5．（2014高三·江西·竞赛）已知正三棱锥的底面边长为1，侧棱长为2.过点作截面与侧棱、分别交于点、.当的周长最小时，的面积为 .
题型十三：动点：两线动点最值
两条线上动点距离
、建立空间坐标系，表示为函数求最值
、异面直线的距离，即公垂线的距离
1．（23-24·湖北武汉·模拟）正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
2．（22-23高三·江苏南通）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：
①线段MN的长度为1；
②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；
③的余弦值的取值范围为；
④周长的最小值为．
其中正确结论的为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
3．（23-24高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（ ）
A．1B．C．D．
4．（22-23高二上·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（ ）

A．B．C．D．
题型十四：动点：表面上动点距离最值
1．（22-23高一三·陕西西安·模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，顶点A在平面α内，若顶点B，D ，A1到平面α的距离分别是1，2，4，那么正方体的其它顶点到平面α的距离可以是（ ）
A．3，4，5，6B．3，5，6，7C．5，6，7，8D．3，4，7，8
2．（23-24高三·四川成都·模拟）如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（23-24高三·北京朝阳·模拟）在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（22-23高三·江西·模拟）如图，正方体的棱长为，点是底面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则点M的轨迹是线段
B．若保持，则点M的运动轨迹长度为
C．若点在平面内，点为的中点，且，则点Q的轨迹为一个椭圆
D．若点到与的距离相等，则动点的轨迹是抛物线的一部分
题型十五：动点：折线和最值
1．（2021·海南·三模）直四棱柱的所有棱长均相等，，是上一动点，当取得最小值时，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三上·河南新乡·阶段练习）在棱长为3的正方体中，点满足，点在平面内，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）在正方体中，棱长为4，为的中点，点在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．10
4．（22-23·浙江宁波·模拟）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，是线段的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
5.（23-24·河北张家口·模拟）如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，是的中点，则（ ）
A．若是侧面内一动点，则满足平面的点的轨迹长为
B．平面内不存在点，使得平面
C．三棱锥的体积为16
D．若是上一点，则的最小值为
题型十六：动点：折线型“将军饮马”最值
1．（2023·安徽·模拟）如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（20-21高三·河南·模拟）如图，在长方体中，棱长，，点为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三下·安徽·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
4.（23-24高二上·湖北黄石·期中）在长方体中，，，，M为上一动点，N为AB上一动点，则的最小值为 .

结束
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面

特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。
方法：相交线法
以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），
先用上表面（红色的）来做：
所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G
此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H.
连接HB，则的如右图的截面。

再用右表面绿色的来做：
则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I
此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J.
连接FJ，则出右图的截面。

最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。