山东省聊城颐中外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

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【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可.
【详解】点关于平面对称的点的坐标是.
2．【答案】D【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.
【详解】
对于A：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于B：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于C：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于D：记,则.
因为，所以点不在平面α上.
3．【答案】A
【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.
【详解】解：，
，
4．【答案】A【解析】，设平面的法向量为，则 ，即， 满足上式的选项只有A.
5.【解题思路】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可.
【解答过程】因为a⊥c，所以2x−2+2=0⇒x=0，又b//c，
所以设b=λc，即1=2λ−1=−2λy=2λ⇒λ=12y=1，所以x+y=1，故选：B.
6．【答案B】
7.【答案】C【解析】因为，
所以，，所以，
所以点C到直线AB的距离=，故选：C．
8．【答案】C
【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解.
【详解】记的 中点分别为，因为，所以，
同理，，记，
因为，所以，
所以，，
易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时，
以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C
二、多选题
9．【答案】ACD
【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可.
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确.
故选：ACD.
10．【答案】ACD
【分析】由向量加法和模长的坐标运算、向量共线与垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD.
11．【答案】AB
【分析】构建空间直角坐标系，向量法求线线角、点面距离，判断线面位置关系，根据正四棱柱外接球半径是体对角线的一半，应用球体表面积公式求表面积.
【详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，则，
所以直线与直线所成角的余弦值为，A对；
由，则，若是面一个法向量，
故，令，则，而，
所以点到平面的距离，B对；
由且，则，显然不可能与平行，C错；
由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为，故外接球的表面积为，D错.故选：AB
三、填空题
12．【答案】1【分析】利用空间共面向量定理求解即可.
【详解】∵,,
∴,，，
∵四点共面，故根据空间向量基本定理
可知存在实数，使得， 则有 ，解得，
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可.
【详解】易知向量在向量上的投影向量为
.
故答案为：
14.【答案】
【解析】由题意可得，
又是平面的法向量，
则点到平面的距离为，
四、解答题
15.【解析】∵，，，
∴=(1，1，0)， =（－1，0，2）．
（1）=，∴和的夹角的余弦值为．
(2)+=（，，0）+（－1，0，2）＝（－1，，2），
－=（+2，，－4），∵(+)⊥（－2），
∴(+)（－2）=（－1，，2）·（+2，，－4）
∴或．
16.【证明】以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则可得，，，
平面，平面.
17.
18.【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，E(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，2，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，1，0)．取a＝＝(0，2，1)，，则a2＝5，a·u＝．所以点B1到直线AD1距离为．
(2)设平面AD1E的法向量是n1＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝z＝1．所以n1＝(1，1，1)是平面AD1E的一个法向量．同理，平面BB1E的一个法向量为n2＝(1，－1，0)．因为n1·n2＝1－1＝0，所以平面AD1E⊥平面BB1E．
19.【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【解析】（1）因为是正三角形，为的中点，所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面；
（2）连接，因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
则到平面的距离为，

解得，故，故.