山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数z满足z⋅i=1-i， 则 z=（ ）
A．1B．2C．3D．2
2．等比数列an中，a3a7a15=6,a8=3，则a9=（ ）
A．23B．32C．2D．12
3．已知集合A={x∈Z|x2+x-2≤0}, B={x∈N|0≤lg2(x+1)≤2}，则A∩B的真子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12cm，上､下底面的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯23高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（ ）
A．38π cm2B．124π3 cm2C．140π3 cm2D．48π cm2
5．函数y=lgax+4+4（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cs7π2-θ=（ ）
A．35B．-35C．45D．-45
6．在平行四边形ABCD中，点E满足BD=4BE，CE=λBA+μBC(λ,μ∈R)，则λμ=（ ）
A．-316B．-38C．316D．1
7．设fx是定义域为R的奇函数，且fx+2=-fx，当1A．lg23B．lg23-1C．-lg23D．-lg23-1
8．已知数列{an}满足a1=1,(2+an)(1-an+1)=2，设1an的前n项和为Sn，则a2022(S2022+2022)的值为（ ）
A．22022-1B．22022-2C．3D．2
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若数列an为等差数列，则a3+a7=2a5
C．若m>0，n>0，且m+n=1，则1m+4n的最小值为9
D．命题“∀x∈R，x2+2x+2>0”的否定为“∃x∈R，x2+2x+2<0”
10．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．φ=π3
B．函数f(x)的图象关于16,0对称
C．函数f(x)在16,23的值域为[-3,3]
D．要得到函数gx=Acsωx+φ的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移14个单位
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为100m，设置有12个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．则下列说法正确的是（ ）
A．游客距离地面的高度m与时间tmin的函数为H=-50csπ15t+70
B．摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于95m的时间为10min
C．经过25min，游客距离地面70m
D．甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱，在运行一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为256-2m
12．已知数列an的前n项和Sn=n2，bn=-1nanan+1，数列bn的前n项和为Tn，则下列命题正确的是（ ）
A．an=2n-1
B．当n为奇数时，Tn=-3n2+2n-2
C．T2n=8n2+4n
D．数列an⋅910n的最大项为第10项
三、填空题
13．曲线fx=lnx+1csx在点x=0处的切线方程为 ．
14．已知向量a=1,-3，b=λ,5，且a+b⊥a，则b在a方向上的投影向量的坐标为 .
15．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的体积是 cm3.

16．已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且CP=3，则PC⋅PA+PB的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a5+a6=24，S3=15．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1an2-1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△ABC中，a-csinA+B=a-bsinA+sinB（其中a,b,c分别为A,B,C的对边）．
(1)求B的大小；
(2)若b=2，S△ABC=334，求△ABC的周长．
19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM=5m，BC=10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH=θ0<θ<π4．
（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式．
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为kk>0，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k．现欲造一栋总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
20．已知向量a=sinx,1，b=3csx,-2，函数fx=a+b⋅a.
(1)若a//b，求cs2x的值；
(2)已知△ABC为锐角三角形，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，b=2，且fA=12，求△ABC面积的取值范围.
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．
（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn-2n＞2018的n的最小值．
22．已知函数fx=2lnx-ax2+2x-1，gx=fx-2ax+3a∈R.
(1)若f1=-1，求函数y=fx的极值；
(2)若关于x的不等式gx≤0恒成立，求整数a的最小值；
(3)当02a.
2021级高三第一学期期中测试
参考答案：
1．B
【分析】利用复数的运算法则及其模长公式求解即可.
【详解】由已知得z=1-ii=i1-ii2=-i1-i=-i-1，
则z=-12+-12=2，
故选：B．
2．A
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】a3a7a15=a2a8a15=3a2a15=3a8a9=9a9=6,a9=23.
故选：A
3．B
【分析】先将两个集合化简求其交集，然后根据集合元素个数与真子集个数关系求出真子集个数.
【详解】因为A={x∈Z|x2+x-2≤0}=x∈Z|-2≤x≤1=-2,-1,0,1，
B={x∈N|0≤lg2(x+1)≤2}={x∈N|1≤x+1≤4}=x∈N|0≤x≤3=0,1,2,3，
所以A∩B=0,1，
A∩B的真子集个数为22-1=3.
故选：B.
4．C
【详解】由题意可知杯套部分依然是圆台，则此杯套使用的皮革的面积即为对应圆台的侧面积加上较小底面面积；
如图，作出水杯的轴截面，作AG⊥CD于G，
设ABFE为杯套部分对应的轴截面，AG交EF与H，

则AE=23AD=23×12=8，GD=CD-AB2=8-42=2，
则由△AEH∽△ADG可得HEGD=AEAD=23,∴EH=23GD=43，
故EF=43×2+4=203，
故此杯套使用的皮革的面积为S=π×22+π×2+103×8=1403π，
故选：C
5．D
【分析】根据lga1=0可知，函数y=lgax+4+4的图象过定点-3,4，再根据三角函数的定义以及诱导公式即可求出．
【详解】令x+4=1，所以x=-3，所以函数y=lgax+4+4的图象过定点-3,4．因为点A在角θ的终边上，所以sinθ=4-32+42=45，即有cs7π2-θ=-sinθ=-45．
故选：D．
6．A
【详解】因为BD=4BE，则CD-CB=4CE-CB，
整理得CE=14CD+34CB=14BA-34BC，可得λ=14,μ=-34， 所以λμ=14×-34=-316.
故选：A.
7．C
【详解】因为fx+2=-fx，则fx+4=-fx+2=--fx=fx，
可知4为fx的周期，
且20232=4×253-12，可得f20232=f-12=-f32=-lg232+1=-lg23.
故选：C.
8．D
【详解】(2+an)(1-an+1)=2，则an+1=anan+2，即1an+1=2an+1，
得1an+1+1=2(1an+1)，故1an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，
1an+1=2n,an=12n-1，
S2022+2022=2+22+⋯+22022=22023-2，
a2022(S2022+2022)=2．
故选：D
9．BC
【详解】A选项：取a=5,b=2,c=-2,d=-4，显然满足a>b，c>d，但ac=-10<-8=cd，故A错误；
B选项：记数列an的公差为d，则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d，2a5=2a1+4d=2a1+8d，所以a3+a7=2a5，B正确；
C选项：因为m>0，n>0，且m+n=1，所以1m+4n=1m+4nm+n=5+nm+4mn≥5+24=9，
当且仅当1m=4nm+n=1，即m=15,n=45时，等号成立，C正确；
D选项：命题“∀x∈R，x2+2x+2>0”的否定为“∃x∈R，x2+2x+2≤0”，D错误.
故选：BC
10．AD
【详解】
由图可知A=2,T4=13-112=14，又T=2πω，
所以T=1,ω=2π，所以fx=2sin2πx+φ，
又函数图象最高点为112,2，
所以f112=2sinπ6+φ=2，即sinπ6+φ=1，
所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π3+2kπ,k∈Z，
由题意|φ|<π2，所以只能k=0,φ=π3，故A选项正确；
由A选项分析可知fx=2sin2πx+π3，而x0,0是fx=2sin2πx+π3的对称中心当且仅当fx0=2sin2πx0+π3=0，
但f16=2sinπ3+π3=3≠0，从而函数f(x)的图象不关于16,0对称，故B选项错误；
当x∈16,23时，2πx∈π3,4π3，t=2πx+π3∈2π3,5π3，
而函数y=2sint在2π3,3π2上单调递减，在3π2,5π3上单调递增，
所以当x∈16,23时，-2=2×-1≤fx≤2×32=3，
所以函数f(x)在16,23的值域为[-2,3]，故C选项错误；
若将函数fx=2sin2πx+π3的图象向左平移14个单位，
则得到的新的函数解析式为hx=2sin2πx+14+π3=2sin2πx+π3+π2=2cs2πx+π3=gx，故D选项正确.
故选：AD.
11．ABD
【详解】以摩天轮轴心O为原点，水平线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知O离地面120-50=70(m)，
设游客距离地面的高度m与时间tmin的函数为H=50sin(ωt+φ)+70，
设t=0min时，游客位于点P(0,-20）处，此时φ可取-π2，
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的速度约为π15rad/min，
故H=50sin(π15t-π2)+70=-50csπ15t+70，A正确；
摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于95m，
即令-50csπ15t+70≥95,∴csπ15t≤-12，
由于0≤t≤30，则2π3≤π15t≤4π3,∴10≤t≤20，
即游客距离地面的高度不低于95m的时间为20-10=10(min)，B正确；
当t=25时，H=-50csπ15×25+70=45（m），C错误；
如图，甲，乙两人的位置分别用点A,B表示，则∠AOB=2π12=π6，
经过tmin后，甲距离地面的高度为h1=-50csπ15t+70，
点B相对A始终落后π6rad，此时乙距离地面的高度为h2=-50cs(π15t-π6)+70，
则甲、乙高度差h=|h1-h2|=50|csπ15t-cs(π15t-π6)|
=50|csπ15t-csπ6csπ15t-sinπ6sinπ15t|=50|(1-32)csπ15t-12sinπ15t|,
结合辅助角公式可知h最大值为50×(1-32)2+(12)2=50×2-3
=50×(3-1)22=25(6-2)（m），D正确，
故选：ABD
12．ACD
【详解】由Sn=n2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-n-12=2n-1，
当n=1时，a1=S1=1，满足上式，
所以an=2n-1，故A正确；
由bn=-1nanan+1=-1n2n-12n+1，
所以b2n-1+b2n=-4n-34n-1+4n-14n+1=16n-4，
则T2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+⋯+b2n-1+b2n=161+2+3+⋯+n-4n
=16×nn+12-4n=8n2+4n，故C正确；
当n为偶数时，Tn=8×n22+4×n2=2n2+2n，
当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=2n+12+2n+1-2n+12n+3=-2n2-2n+1，故B错误；
设数列an⋅910n=2n-1⋅910n的最大项为第n项，
由2n-1⋅910n≥2n+1⋅910n+12n-1⋅910n≥2n-3⋅910n-1，解得192≤n≤212，
又n∈N*，则n=10，所以数列an⋅910n的最大项为第10项，故D正确.
故选：ACD.
13．y=x
【分析】利用导数的乘法法则求出f(x)的导数，即可求得f'0=1，又f0=0，利用直线的点斜式即可得出结论.
【详解】由题意得f'x=-lnx+1sinx+csxx+1，
所以f'0=1，
又f0=0，
所以切线方程为y=x．
故答案为：y=x.
14．-1,3
【分析】首先求出a+b的坐标，再根据向量垂直数量积为0求出参数λ的值，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为a=1,-3，b=λ,5，所以a+b=λ+1,2，
又a+b⊥a，所以a+b⋅a=λ+1+2×-3=0，解得λ=5，
所以b=5,5，则a⋅b=1×5+5×-3=-10，a=12+-32=10，
所以b在a方向上的投影向量为a⋅ba×aa=-1010×1101,-3=-1,3.
故答案为：-1,3
15．90002 【详解】连接AC、BD交于O点，连接EO，因为八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则EO⊥底面ABCD。EO为正四棱锥E-ABCD的高。
∴VE-ABCD=1/3EO·SABCD=45002
则这个八面体的体积V=2×45002=90002（cm3）.
故答案为：90002
16．0,12
【分析】以BC中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，由此可得P点轨迹方程，设P1+3csθ,3sinθ，利用向量数量积坐标运算和三角恒等变换知识可化简得到PC⋅PA+PB=6-6sinθ-π3，结合正弦函数值域可求得结果.
【详解】以BC中点O为坐标原点，OC,OA正方向为x,y轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则A0,3，B-1,0，C1,0，
∵CP=3，∴P点轨迹是以C为圆心，3为半径的圆，
∴P点轨迹方程为：x-12+y2=3，不妨设P1+3csθ,3sinθ，
∴PC=-3csθ,-3sinθ，PA=-1-3csθ,3-3sinθ，PB=-2-3csθ,-3sinθ，
∴PA+PB=-3-23csθ,3-23sinθ，
∴PC⋅PA+PB=3csθ3+23csθ-3sinθ3-23sinθ =33csθ+6cs2θ-3sinθ+6sin2θ=6-3sinθ-3csθ=6-6sinθ-π3，
∵sinθ-π3∈-1,1，∴6-6sinθ-π3∈0,12，
即PC⋅PA+PB的取值范围为0,12.
故答案为：0,12.
17．（Ⅰ）an=2n+1；（Ⅱ）Tn=n4(n+1)．
【分析】(Ⅰ)设出公差，借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用裂项相消法求解．
【详解】(Ⅰ)设an 的公差为d ∵a5+a6=24 ，S3=15．
∴2a1+9d=24， 3a1+3d=15．
联立方程2a1+9d=243a1+3d=15 ，解得a1=3d=2
∴an=2n+1(n∈N*)．
(Ⅱ)bn=1an2-1=14n(n+1)=141n-1n+1
∴Tn=141-12+12-13+⋯+1n-1n+1
=141-1n+1=n4(n+1)．
18．(1)B=π3 (2)2+13
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理求解即可；
（2）由面积公式得ac=3，根据b=2,B=π3，利用（1）式所得式c2+a2-b2=ac变形求解(a+c)2，进而求周长.
【详解】（1）在△ABC中，因为sinA+B=sinπ-C=sinC，
故由a-csinA+B=a-bsinA+sinB可得，
a-csinC=a-bsinA+sinB，
由正弦定理得sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，代入上式整理得，
ca-c=a-ba+b，即c2+a2-b2=ac．
则csB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，
又0（2）S△ABC=12acsinB=334，得ac=3，
由（1）知，c2+a2-b2=ac，又b=2，
得a2+c2-ac=4，
即a+c2=a2+c2+2ac=4+3ac=13，
则a+c=13，所以△ABC的周长为2+13
19．（1）S=160csθ0<θ<π4；（2）当θ为π6时，该别墅总造价最低．
【分析】（1）先求得FM,进而求得屋顶面积S关于θ的函数关系式.
（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当θ=π6时，总造价最低.
【详解】（1）由题意，知FH⊥平面ABCD，
因为HM⊂平面ABCD，所以FH⊥HM．
在Rt△FHM中，HM=5，∠FMH=θ，所以FM=5csθ．
所以△FBC的面积为12×10×5csθ=25csθ．
所以屋顶面积S=2S△FBC+2S梯形ABFE=2×25csθ+2×25csθ×2.2=160csθ．
所以S关于θ的函数关系式为S=160csθ0<θ<π4．
（2）在Rt△FHM，FH=5tanθ，所以下部主体高度为h=6-5tanθ．
所以别墅总造价为y=S⋅k+h⋅16k=160csθ⋅k+6-5tanθ⋅16k
=160csθk-80sinθcsθk+96k=80k⋅2-sinθcsθ+96k．
设fθ=2-sinθcsθ，0<θ<π4，则f'θ=2sinθ-1cs2θ，
令f'θ=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6．
f'θ与fθ随θ的变化情况如下表：
所以当θ=π6时，fθ在0,π4上有最小值．
所以当θ为π6时，该别墅总造价最低．
20．(1)17
(2)32,23
【分析】（1）根据向量共线定理可得tanx=-32，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式的应用可得解；
（2）根据向量数量积公式可得fx，进而可得A，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解.
【详解】（1）∵a//b，∴3csx=-2sinx，
则tanx=-32；
cs2x=cs2x-sin2x=cs2x-sin2xsin2x+cs2x=1-tan2xtan2x+1=1--322-322+1=17；
（2）fx=a+b⋅a=sinx+3csxsinx+1-2×1=sin2x+3sinxcsx-1 =32sin2x-12cs2x-12=sin2x-π6-12，
又fA=12，所以sin2A-π6=1，A∈0,π2，得2A-π6=π2，即A=π3，
因为csinC=bsinB，所以c=2sinCsinB，
所以S△ABC=12bcsinA=3sinCsinB=3sinB+π3sinB=32+32tanB，
所以0解得π633
故32<32+32tanB<23，
即△ABC面积的取值范围为32,23.
21．(1)（1）an=2n-1，n∈N*；（2）11
【分析】（1）易求得a1=1,由题意Sn+n=2an，所以sn-1+n-1=2an-1，两个式子做差变形可得递推关系式．根据等比数列的定义可得结论，利用等比数列通项公式可求得an．（2）bn是一个等比数列与一个等差数列相乘的形式，利用错位相减可求得其前n项和．再通过构造新数列以及其增减性得出满足不等式的最小n值．
【详解】（1）证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，
∴当n≥2时，Sn-1+n-1=2an-1，两式相减得：an+1=2an-2an-1，即an=2an-1+1，
∴an+1=2（an-1+1），∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1=2n，则an=2n-1，n∈N*；
（2）∵bn=nan+n=n(2n-1)+n=n⋅2n，
∴Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+…+n⋅2n，
∴2Tn=1⋅22+2⋅23+…+(n-1)⋅2n+n⋅2n+1，
两式相减得：-Tn=21+22+23+…+2n-n⋅2n+1，
∴Tn=(n-1)⋅2n+1+2，由Tn-2n＞2018，得n-1n⋅2n＞1009，
设cn=n-1n⋅2n，∵cn+1-cn=n2+1n2+n⋅2n＞0，∴数列{cn}为递增数列，
∵c10=910⋅210＜1009，c11=1011⋅211＞1009，
∴满足不等式Tn-2n＞2018的n的最小值为11．
.
22．(1)有极大值f1=-1，无极小值(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）当f1=-1时，f1=-a+2-1=-1，所以a=2，
则fx=2lnx-2x2+2x-1，定义域为0,+∞.
令f'x=-2x-12x+1x>0，解得：0所以fx的单调增区间为0,1，单调减区间为1,+∞；
则当x=1时，y=fx有极大值f1=-1，无极小值；
（2）依题意gx=fx-2ax+3≤0对x∈0,+∞恒成立，等价于a≥2lnx+x+1x2+2x对x∈0,+∞恒成立.
令hx=2lnx+x+1x2+2x，则h'x=-2x+12lnx+xx2+2x2
令φx=2lnx+x,则φx=2lnx+x在0,+∞上是增函数，
φ1=1>0，φ12=12+2ln12=121-4ln2<0
所以∃x0∈12,1，使φx0=0即2lnx0+x0=0
对∀x∈0,x0，φx<0，h'x>0，所以hx在0,x0上单调递增；
对∀x∈x0,+∞，φx>0，h'x<0，所以hx在x0,+∞上单调递减.
所以hxmax=hx0=2lnx0+x0+1x0x0+2=x0+2x0x0+2=1x0.
所以a≥1x0∈1,2.
又a∈Z，所以整数a的最小值2
（3）当0令g'x=-2x+1ax-1x>0⇒x<1a，故gx在0,1a上单调递增，在1a，+∞上单调递减且g1a=2ln1a+1a>0，x→0时，gx→-∞；x→+∞时，gx→-∞；
依题意存在x1,x2∈0,+∞使得gx1=gx2，
已知x12a成立，
因为x1，x2是gx的零点，所以gx1=0gx2=0⇒ lnx1=12ax12+a-1x1+1lnx2=12ax22+a-1x2+1，
两式相减得：lnx1-lnx2=12ax12-x22+a-1x1-x2，
即2a=x12-x22+2x1-x2lnx1-lnx2+x1-x2，
要证x1+x2>2a，只需证x1+x2>x12-x22+2x1-x2lnx1-lnx2+x1-x2，
又因为x1即证lnx1x2<2x1-x2x1+x2，
令t=x1x2∈0,1，则Gt=lnt-2t-11+t，所以G't=t-12t1+t2>0，
所以Gt在0,1增函数，所以Gt即lnx1x2<2x1-x2x1+x2成立.
所以原不等式得证.θ
0,π6
π6
π6,π4
f'θ
-
0
+
fθ
↘
3
↗