山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 椭圆的焦点坐标为
A．，B．，
C．，D．，
2. 已知直线过点，且与直线平行，则的方程是
A．B．C．D．
3. 点关于直线的对称点的坐标为
A. B. C. D.
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
5. 古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为
A. 30B. 120C. D.
6. 已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为
A. B. C. D.
7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为
A. 13B. 12C. 6D. 9
8. 若实数满足，则的最大值为
A B. C. D. 2
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 直线对应的图像不可能是
A．B．
C．D．
10. 已知，则下述正确是
A. 圆C的半径B. 点在圆C的内部
C 直线与圆C相切D. 圆与圆C相交
11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是
A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
12. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是
A.
B. 直线与EF所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数、使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若直线与互相垂直，则m=______________
14. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是___________.
15. 直线恒过定点______________
16. 已知直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是 ______________
四、解答题（共70分）
17.(10分) 已知△ABC的三个顶点分别为．
(1)求边上的高所在直线的方程(化为一般式)；
(2)求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．
（1）求证：；
（2）求EF与CG所成角的余弦值．
19. （12分） 已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程．
20. （12分） 已知圆，圆.
（1）若圆与圆外切，求实数的值；
（2）设时，圆与圆相交于两点，求弦AB的长.
21. （12分）如图，四边形是正方形，平面，F为PD的中点．
(1)求证：BD//平面；
(2)求面与面夹角的大小．
22. （12分） 已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）
2022级高二年级第一学期期中自我测试
数学试题参考答案
一、ADAD CCDB
二、9.CD 10.ACD 11.BD 12.BD
三、13.6 14. (x+1)2+(y-1)2=25 15. (-1,-2) 16. 或
四、17、【详解】（1）直线的斜率为，因此边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为：.即2x-y+3=0
（2）直线的方程为，即，
于是点到直线的距离为：，而，
所以的面积.
18. （1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，，
则，
因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.
19. 【小问1详解】
圆心在直线上，可设圆心，
，解得：，则圆心，
圆的半径，
圆的方程为；
【小问2详解】
当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即，
圆心到直线的距离，解得：，
切线方程为，即；
当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离是，是圆的切线；
综上所述：过点的圆的切线方程为和.
20.答案：（1）
（2）
解：（1）圆，即，所以，
圆，所以，
因为两圆外切，所以，得，
化简得，所以.
（2）时，圆，即，
将圆与圆的方程联立，得到方程组
两式相减得公共弦的方程为：.
21.（1）依题意，平面，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得，，，，，，
取的中点M，连接．∵，，
∴，∴，
∵平面平面，∴平面．
（2）因为，所以平面，
故为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，因为，
所以即,令，得，，
故．
设面与面夹角为，则，
所以面与面夹角是
22.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义可得，进而可求其方程，
（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.
【小问1详解】
由椭圆的定义，
可知
解得，又.
椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
设直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，
，得
设，则，
，
点到直线的距离，
.
当且仅当，即时取等号；
面积最大值为.