【高考物理】一轮复习：专题强化练（2025版创新设计）15、专题强化练十五　带电粒子在电场中运动的综合问题

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对点练1 带电粒子在电场和重力场中的运动
1.(多选)如图1所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是水平方向的直径，CD是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到P点时的动能最大，∠DOP＝37°。已知重力加速度大小为g，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
图1
A.小球可以沿圆环运动到C点
B.匀强电场的电场强度大小为eq \f(3mg,5q)
C.P、B两点间的电势差为eq \f(3mgR,10q)
D.小球运动到B点时，向心加速度大小为3g
2.(多选)坐标系xOy所在的竖直平面内存在着范围足够大且方向竖直向下的匀强电场，x轴沿水平方向，一带负电小球以初速度v0从坐标原点O水平射出，一段时间后小球通过第四象限Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L，－L))点(图2中没有标出)。已知小球质量为m，重力加速度为g，则小球( )
图2
A.从O到P的运动过程，运动时间为eq \f(L,v0)
B.到达P点时动能为eq \f(5,2)mveq \\al(2,0)
C.到达P点时速度偏向角正切值为tan θ＝1
D.所受电场力大小为eq \f(2mveq \\al(2,0),L)＋mg
3.如图3，倾角为θ的绝缘光滑斜面和斜面底端电荷量为Q的正点电荷均固定，一质量为m、电荷量为q的带正电小滑块从A点由静止开始沿斜面下滑，刚好能够到达B点。已知A、B间距为L，Q≫q，重力加速度大小为g。则A、B两点间的电势差UAB等于( )
图3
A.－eq \f(mgLsin θ,Q)B.eq \f(mgLsin θ,Q)
C.－eq \f(mgLsin θ,q)D.eq \f(mgLsin θ,q)
对点练2 电场中的力、电综合问题
4.(多选)如图4所示，ACB为固定的光滑半圆形竖直绝缘轨道，半径为R，AB为半圆水平直径的两个端点，OC为半圆的竖直半径，AC为eq \f(1,4)圆弧，OC的左侧、OA的下方区域有竖直向下的匀强电场。一个带负电的小球，从A点正上方高为H处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力，小球电荷量不变。关于带电小球的运动情况，下列说法正确的有( )
图4
A.小球一定能从B点离开轨道
B.小球在圆弧AC部分运动的加速度大小可能不变
C.若小球能沿圆弧返回从A点离开，上升的高度一定等于H
D.若小球能沿圆弧到达C点，其速度不可能为零
B级 综合提升练
5.如图5，滑块A、B的质量均为m，B带正电，电荷量为q；A不带电，A套在固定竖直直杆上，A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，B放在水平面上并靠近竖直杆，A、B均静止。现加上水平向右、电场强度为E的匀强电场，B开始沿水平面向右运动。不计一切摩擦，A、B视为质点。在A下滑的过程中，下列说法正确的是( )
图5
A.A、B组成的系统机械能守恒
B.A运动到最低点时，B达到最大速度
C.A运动到最低点时，速度大小为eq \r(2gL＋\f(2qEL,m))
D.A的机械能最小时，B的加速度大小为零
6.(2024·广东东莞开学考)如图6所示，AC水平轨道上AB段光滑、BC段粗糙，且BC段的长度L＝1 m，CDF为竖直平面内半径R＝0.1 m的光滑半圆绝缘轨道，两轨道相切于C点，CF右侧有电场强度大小E＝1×103N/C、方向水平向右的匀强电场。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与质量m＝0.1 kg的滑块P接触。当弹簧处于原长时滑块在B点，在F点有一套在半圆轨道上、电量q＝1.0×10－3C的带正电圆环，在半圆轨道最低点放一质量与圆环质量相等的滑块Q(图中未画出)。由静止释放圆环，圆环沿半圆轨道运动，当圆环运动到半圆轨道的最右侧D点时对轨道的压力大小FN＝5 N。已知滑块Q与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.1，取重力加速度大小g＝10 m/s2，两滑块和圆环均可视为质点，圆环与滑块Q的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，Q、P两滑块碰撞后粘在一起。求：
图6
(1)圆环的质量M；
(2)圆环与滑块Q碰撞前瞬间的速度大小vC；
(3)弹簧的最大弹性势能Ep。
7.(2024·广东深圳高三期末)如图7甲所示，长为L、底面半径为R、内壁光滑的绝缘圆筒固定在水平地面上，质量为m、带电量为＋q的小球静置在筒内左侧底面最低点。现给小球一沿切线方向(与中心轴OO′垂直)的初速度，如图乙所示，同时在圆筒所在的空间区域施加竖直方向的匀强电场(电场未画出)，不计空气阻力，重力加速度为g。
图7
(1)已知小球恰好在左侧底面内做匀速圆周运动，求场强大小；
(2)仅将题中电场方向改变为水平向右(与中心轴OO′平行)，其他条件不变。若小球在筒内运动时未脱离内壁，求小球在筒内运动的时间；
(3)请结合(2)中情况通过计算讨论：若要求小球在筒内运动时未脱离内壁，求小球初速度的范围。
C级 培优加强练
8.(2023·新课标卷，25)密立根油滴实验的示意图如图8所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、eq \f(v0,4)；两板间加上电压后(上板为正极)，这两个油滴很快达到相同的速率eq \f(v0,2)，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
图8
(1)求油滴a和油滴b的质量之比；
(2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
参考答案
专题强化练十五 带电粒子在电场中运动的综合问题
1.CD [小球运动到P点时的动能最大，即重力和电场力的合力沿着OP方向，对小球受力分析有eq \f(qE,mg)＝tan 37°，解得E＝eq \f(3mg,4q)，故B错误；假设小球能够沿圆环运动到C点，根据动能定理有qER－mgR＝Ek－0，分析上式可知Ek<0，即假设不成立，故A错误；P、B两点间的电势差UPB＝E·eq \f(2,5)R＝eq \f(3mgR,10q)，故C正确；小球从A点运动到B点，根据动能定理有qE·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，此时小球的向心加速度大小a向＝eq \f(veq \\al(2,B),R)＝3g，故D正确。]
2.AB [从O到P的运动过程，小球在水平方向上做匀速运动，则运动时间为t＝eq \f(L,v0)，选项A正确；小球在竖直方向做匀加速运动，则L＝eq \f(vy,2)t，即vy＝2v0，到达P点时速度为vP＝eq \r(veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(5)v0，动能Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,P)＝eq \f(5,2)mveq \\al(2,0)，选项B正确；到达P点时速度偏向角正切值为tan θ＝eq \f(vy,v0)＝2，选项C错误；由动能定理有mgL－FL＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,P)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，所受电场力大小为F＝mg－eq \f(2mveq \\al(2,0),L)，选项D错误。]
3.C [带正电小滑块从A点由静止开始沿斜面下滑，受到重力和电荷Q的库仑力作用，从A点运动到B点的过程，由动能定理可知mgLsin θ＋qUAB＝0，解得A、B两点间的电势差UAB＝－eq \f(mgLsin θ,q)，C正确。]
4.BCD [由题意可知，带电小球从开始下落到C的过程中，电场力做负功，重力做正功，由于二者做功的大小关系不确定，故小球有可能不能从B点离开轨道，故A错误；若重力和电场力大小相等，则小球在AC部分做匀速圆周运动，加速度大小不变，故B正确；若小球能沿圆弧返回从A点离开，全过程电场力做功为零，小球上升的高度一定等于H，故C正确；若qE≤mg，小球沿圆弧从A到C做加速或匀速率运动，故小球到达C点的速度不可能为零；若qE>mg，小球沿圆弧运动到C点的最小速度为v，则有qE－mg＝eq \f(mv2,R)，故小球能到达C点的速度也不可能为零，故D正确。]
5.C [电场力对系统做功，机械能不守恒，选项A错误；A运动到最低点时，B的速度为0，选项B错误；A运动到最低点时，B的速度为零，根据系统机械能守恒得mgL＋qEL＝eq \f(1,2)mv2解得v＝eq \r(2gL＋\f(2qEL,m))，选项C正确；假设无电场，则系统机械能守恒，当A机械能最小时，B的机械能最大，即B的动能最大，速度最大，加速度为零，因电场力并不影响A的机械能，所以有电场和无电场时A机械能最小时在杆上的位置相同，但是有电场时，A机械能最小时B还受水平向右的电场力，所以加速度不为零，选项D错误。]
6.(1)0.1 kg (2)2 m/s (3)0.05 J
解析 (1)圆环从F点运动到D点的过程，由动能定理有
MgR＋qER＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,D)
在D点，由牛顿第二定律有FN－qE＝Meq \f(veq \\al(2,D),R)
解得M＝0.1 kg。
(2)圆环从F点运动到C点，电场力做功为0，仅有重力做功，有Mg×2R＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,C)
解得vC＝2 m/s。
(3)圆环与滑块Q碰撞，由于两者质量相等，碰撞后交换速度，故碰撞后圆环的速度为0，滑块Q的速度大小为2 m/s
滑块Q在BC段运动的过程中，根据动能定理有
－μMgL＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,B)－eq \f(1,2)Mveq \\al(2,C)
解得vB＝eq \r(2)m/s
滑块Q和滑块P碰撞时有MvB＝(M＋m)v
Ep＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(M＋m))v2
解得Ep＝0.05 J。
7.(1)eq \f(mg,q) (2)eq \r(\f(2L,g)) (3)v≤eq \r(2gR)或v≥eq \r(5gR)
解析 (1)加上竖直方向的匀强电场，小球恰好做匀速圆周运动，则有qE＝mg
解得场强大小为E＝eq \f(mg,q)。
(2)小球在筒内运动时未脱离内壁，小球在水平方向匀加速，则有qE＝ma
解得a＝g
由运动学公式可得L＝eq \f(1,2)at2
解得t＝eq \r(\f(2L,g))。
(3)小球在筒内运动时未脱离内壁，若小球未通过圆心等高点，则有eq \f(1,2)mv2≤mgR
解得v≤eq \r(2gR)
若小球通过最高点，则有mg＋FN＝meq \f(v′2,R)，FN≥0
由动能定理可得－2mgR＝eq \f(1,2)mv′2－eq \f(1,2)mv2
联立解得v≥eq \r(5gR)
则小球的初速度的范围为v≤eq \r(2gR)或v≥eq \r(5gR)。
8.(1)8∶1 (2)a带负电荷 b带正电荷 4∶1
解析 (1)根据题述有f＝kvr
设油滴a的质量为m1，油滴a以速率v0向下匀速运动时，由平衡条件有
m1g＝kv0r1，m1＝eq \f(4,3)πreq \\al(3,1)ρ
设油滴b的质量为m2，油滴b以速率eq \f(v0,4)向下匀速运动时，由平衡条件有
m2g＝k·eq \f(v0,4)r2，m2＝eq \f(4,3)πreq \\al(3,2)ρ
联立解得r1∶r2＝2∶1，m1∶m2＝8∶1。
(2)当在两板间加恒定电压(上板为正)时，这两个油滴很快以eq \f(v0,2)的速率竖直向下匀速运动，则油滴a速率减小，说明油滴a受到向上的电场力，油滴a带负电荷，油滴b速率增大，说明油滴b受到向下的电场力，则油滴b带正电荷。
当两个油滴均以速率eq \f(v0,2)竖直向下匀速运动时，
由f＝kvr可知所受阻力之比为eq \f(f1,f2)＝eq \f(r1,r2)＝2
油滴b以速率eq \f(v0,4)竖直向下匀速运动时，所受阻力为f＝m2g，结合f＝kvr可知油滴b以速率eq \f(v0,2)竖直向下匀速运动时，所受阻力为f2＝2f＝2m2g
油滴a以速率eq \f(v0,2)竖直向下匀速运动，所受阻力为
f1＝2f2＝4m2g
设油滴a所带电荷量的绝对值为q1，由平衡条件有
m1g＝q1E＋f1
设油滴b所带电荷量的绝对值为q2，由平衡条件有
m2g＋q2E＝f2
联立解得q1∶q2＝4∶1。