2025届高中数学一轮复习专题练 集合与常用逻辑用语

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 集合与常用逻辑用语，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合有16个子集,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
2．已知全集U,集合M,N满足,则( )
A.B.
C.D.
3．下列元素、集合间的关系表述正确的是( )
A.B.C.D.
4．命题“,都有”的否定是( )
A.,使得B.,使得
C.,都有D.,都有
5．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
6．已知集合，则( )
A.B.C.D.
7．若集合，，则( )
A.B.C.D.
8．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
二、多项选择题
9．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集”，则下列说法正确的是( )
A.不是“可分集”
B.集合A中元素个数最少为7个
C.若集合A是“可分集”，则集合A中元素全为奇数
D.若集合A是“可分集”，则集合A中元素个数为奇数
10．若集合,,且,则实数a的取值为( )
A.-2B.-1C.0D.2
11．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( ).
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知集合，若，则_______.
13．集合，用描述法可表示为_______.
14．设全集为U,,,则____________.
四、解答题
15．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集.
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由.
16．已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为.若且，则称是，，…，是中的一个等距序列.
（1）若，，，，判断，，，是否是中的一个等距序列？
（2）设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；
（3）设，，…，是中的等距序列，且，，.求m的最小值.
17．已知集合,若存在数阵满足:①;②;则称为“好集合”,并称数阵T为的一个“好数阵”.
（1）已知数阵是的一个好数阵,试写出x,y,z,w的值;
（2）若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
（3）判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
18．已知集合A为非空数集.定义：，.
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合，，且.求证：；
（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值.
19．已知命题p：“关于x的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数m的取值范围；
(2)命题q：，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．答案：A
解析：因为集合有16个子集,
所以集合中有4个元素,分别为0,1,2,3,
所以.
故选:A
2．答案：B
解析：根据题意作出Venn图
对于A,,A错误；
对于B,,B正确；
对于C,,C错误；
对于D,,D错误；
故选：B.
3．答案：D
解析：对于A,是元素,N是自然数集,应用“”连接,故A错误;
对于B,中的元素都在中,故,故B错误;
对于C,是不含任何元素的集合,故C错误;
对于D,Q是有理数集,R是实数集,故,由于任何集合都是它本身的子集,故D正确.
故选:D
4．答案：A
解析：根据全称命题的否定为特称命题知：
命题“,都有”的否定是“,使得”,
故选：A.
5．答案：C
解析：由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：C
6．答案：B
解析：因为，
则.
故选：B
7．答案：C
解析：令，解得，即，而，
所以，故，即C正确.
故选：C
8．答案：B
解析：因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“,”的否定是“,”.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：根据“可分集”性质可知，当集合为时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A错误.
设集合所有元素之和为M.
由题意可知，均为偶数，因此同为奇数或同为偶数.
(Ⅰ)当M为奇数时，则也均为奇数，由于，所以n为奇数.
(Ⅱ)当M为偶数时，则也均为偶数，此时可设，因为为“可分集”，所以也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n也为奇数.
综上所述，集合A中元素个数为奇数.
故C错D对.
由上述解题思路可知集合中元素个数为奇数，不妨假设：
当时，显然任意集合都不是“可分集”;
当时，设集合，其中，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或;
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或
由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾.
因此当时，不存在“可分集”；
当时，设集合，
去掉元素1，；去掉元素3，
去掉元素5，；去掉元素7，
去掉元素9，；去掉元素11，
去掉元素13，，所以集合是“可分集”.
因此集合A中元素个数n的最小值是7，故B正确.
故选：ABD
10．答案：ABC
解析：因为,
解得,,则.
当时,方程无解,则;
当时,方程有解,则且,
因为,所以,
若,即
若,即.
综上所述,时,a的值为-2,-1,0.
故选：ABC.
11．答案：CD
解析：x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以；当x，y，z中有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0，所以；当x，y，z同为负数时，代数式的值为-4，所以.
12．答案：0
解析：因为，
所以，
解得或2（舍去，不满足集合中元素的互异性）.
13．答案：（答案不唯一）
解析：，还有其他表示方法，答案不唯一.
14．答案：
解析：因为,,所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）7
（3）不存在，理由见解析
解析：（1），，
（2）设，不妨设，
因为，所以B中元素个数大于等于7个，
又，，此时B中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
16．答案：（1），，，不是中的一个等距序列；
（2）见解析；
（3）7
解析：（1）
所以，，，不是中的一个等距序列
（2）设，，，
把，，分别称作，，的第一个，第二个，第三个坐标，若，，则A，B中有x个对应坐标不相同，
例如当时，说明A，B中有1个对应坐标不相同，其中，
就是符合的一种情况.
①当得，所以偶数
②当，
则A，B中有1个对应坐标不相同，并且B，C中有1个对应坐标不相同，
所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即则，当有2个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.
③当
则A，B中有2个对应坐标不相同，并且B，C中有个对应坐标不相同，
所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即则，当有2个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.
④当
则A，B中有3个对应坐标不相同，并且B，C中有3个对应坐标不相同，
所以A，C中有0个对应坐标不相同，即则，满足为偶数.
综上：A，B，C是中的等距序列，则为偶数
（3）根据第二问可得，则说明，中有5个对应坐标不相同
由变换到需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，
所以从变到至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m的最小值为7.
17．答案：（1）,,,
（2）证明见解析
（3）不是,理由见解析
解析：（1）,由“好数阵”的定义,
知,,,,
故,,,,进一步得到.
从而,,,.
（2）如果是一个“好数阵”,
则,.
从而,
.
故也是一个“好数阵”.
由于是偶数,故,从而.
所以数阵和的第1行第2列的数不相等,故是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为S,并定义映射如下:
对,规定.
因为由中的元素构成的数阵只有不超过种,故S是有限集合.
而
,
即,从而F是满射,由S是有限集,知F也是单射,故F是一一对应.
对于“好数阵”,
已证数阵和是不同的数阵,
故.
同时,对两个“好数阵”,,如果,则;
如果,则.所以,当且仅当.
最后,对,由,称2元集合为一个“好对”.
对,若属于某个“好对”,则或,即或.
由于,故无论是还是,都有.
所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”,所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍,从而“好数阵”必有偶数个.
（3）若是“好数阵”,
则
,
所以,
这表明一定是偶数.
若,由于此时不是偶数,所以不存在“好数阵”,从而不是“好集合”.
18．答案：（1），；
（2）证明见解析；
（3）1350
解析：（1）由已知，则，；
（2）由于集合，，且，
所以T中也只包含四个元素，因为，
即且，即，
又，
所以，，从而，，
此时满足题意，所以；
（3）设满足题意，其中，
，
，，，
，，
又中最小的元素为0，最大的元素为，
则，，，
设，，
则，
因为，可得，，即，
故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.
19．答案：(1)；
(2)存在.
解析：(1)因为命题p为真命题，
而
，
所以且，解得
(2)令，，
因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得p是q的必要不充分条件