福建省三明市大田县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份福建省三明市大田县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若，则下列四个不等式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.若，则，说法不成立；
B.若，则，故说法不成立；
C.若，则，故说法成立．
D.若，则，故说法不成立．
故选：C．
2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
【答案】D
【解析】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
3. 在中，，，，则面积等于（ ）
A. 6B. C. 12D. 15
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
．
表示在数轴上是：
故选：．
5. 在中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
，
，
故选：B．
6. 将平面直角坐标系中的点向右平移2个单位，得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将点向右平移2个单位后得到的点的坐标为，
故选：D．
7. 以下命题是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. 全等三角形的对应边相等
C. 直角三角形的两个锐角相等
D. 有一个角等于的三角形是等边三角形
【答案】B
【解析】A.相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B.全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，符合题意；
C.直角三角形的两个锐角互补，故错误，是假命题，不符合题意；
D.有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
8. 下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得…①
移项，得…②
合并同类项，得…③
两边同时除以，得…④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（ ）
A ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】小明的计算步骤①中，常数没有乘以2，此步骤错误；
步骤④中，两边同时除以，不等号的方向没有改变，此步骤错误；
综上分析可知，出错的步骤是①④．
故选：C．
9. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A. 没有内角大于B. 有一个内角大于
C. 有两个内角大于D. 三个内角都大于
【答案】D
【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于．
故选：D．
10. 若关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得，
故选：A．
二、填空题
11. “与3的和大于1”用不等式表示为__________．
【答案】
【解析】根据题意，得，
故答案为：．
12. 点关于原点对称的点的坐标为_______．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意得，
，
故答案为：．
14. 如图，已知直线，直线与直线a，b分别交于点，交直线于点．若，则__________．
【答案】
【解析】，，
，
∵，，
，
故答案为：．
15. 已知实数a，b满足，则以a，b的值为两条边长的等腰三角形的周长是__________．
【答案】7
【解析】根据题意得，
解得，
①是底长时，三角形的三边分别为3、3、1，
∵3、3、1能组成三角形，∴三角形的周长为7，
②是腰边时，三角形的三边分别为1、1、3，
，不能组成三角形．
综上所述，三角形的周长是7．故答案为：7．
16. 如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
三、解答题
17. 解不等组：
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组的解集为．
18. 如图，点、、、在同一直线上,其中,,．求证：．
证明：，，
即，
，，
，．
19. 已知图1，图2均为的正方形网格，且A，B，C均为格点．备注：只需分别画出一个符合要求的图形．
图1 图2
（1）在图1中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
（1）解：如图1，四边形是轴对称图形，不是中心对称图形，格点D即为所求；
（2）解：如图2，四边形是平行四边形，四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，即格点D即为所求；
20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别为．
（1）证明：；
（2）将绕点顺时针旋转得到．请在网格中画出，并写出点和的坐标．
（1）证明：的坐标分别为，
，，，
，，
是直角三角形，∴．
（2）解：如图所示：
根据图可知：点．
21. 如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
（1）若为的中点，求证：；
（2）若平分，求的度数．
（1）证明：由沿射线方向平移所得
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
（2）解：平分，
，
又，
．
，，
．
22. 已知一次函数．
（1）若该函数图象经过原点，求的值；
（2）在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若，当时，直接写出的取值范围．
解：（1） 该一次函数的图象经过原点，
，
．
（2）该一次函数的函数值y随x的增大而增大
，
．
（3）当时，此时．
当时，
解得
此时x的取值范围为．
23. 证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对直角边等于斜边的一半．要求：
①在给定的图形中，以C为直角顶点，以线段为角所对的直角边，用尺规作出，不写作法，保留作图痕迹；
②写出已知、求证和证明过程．
解：①如图，是所求作的三角形；
②已知：如图，，，是所对的直角边．
求证：．
证明：由作图可知，，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
由作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，∴．
24. 黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A种，B种树木每棵各多少元；
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
解：（1）设A种树木每棵x元，B种树木每棵y元，根据题意，得
，解得 ，
答：A种树木每棵100元，B种树木每棵80元．
（2）设购买A种树木x棵，则B种树木（100－x）棵，则x≥3（100－x）．解得x≥75．
又100－x≥0，解得x≤100．∴75≤x≤100．
设实际付款总额是y元，则y＝0.9[100x＋80（100－x）]．
即y＝18x＋7 200．
∵18＞0，y随x增大而增大，∴当x＝75时，y最小为18×75＋7 200＝8 550（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，为8 550元．
25. 如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接．
（1）求的度数；
（2）证明：；
（3）连接，若的周长为12，求的最小值．
（1）解：分别垂直平分，
，，
，，
，
．
．
又，
．
（2）证明：连接．
分别垂直平分，
，．
．
在线段的垂直平分线上．
又点是的中点，
．
（3）解：的周长为12，
．
由（1）知，，．
．
即．
在四边形中，，
，，
．
即．
，，
．
同理，．
则
，
是中点，且，
．
，
．
，
，
解得．
则．
，
且当在延长线上时，上式等号成立．
的最小值为．