北京市朝阳区青苗国际学校常营1学区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份北京市朝阳区青苗国际学校常营1学区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共7页。

班级（中文）： 高二 班 成绩:
考试说明：本考试为笔试，时间为 120 分钟；
备注：本试卷共 3 大题，共 2 页，满分 100 分，请作答所有问题。
一、单选题（共10小题；共40分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．
2．已知向量，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．3D．1
3．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（ ）
A．1B．3C． D．
6．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C．D．
7．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
9．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点。则下列说法正确的是（ ）
①存在点Q，使得；②存在点Q，使得；③对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为；④对于任意点Q， 都是钝角三角形
A．①②③B．②③C．①④D．②④
二、填空题（共5小题；共20分）
11．已知两条异面直线对应的方向向量分别是，，则异面直线的夹角为 ．
12．，与直线平行，则直线与的距离为 .
13．以为直径端点的圆的方程是 .
14．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 .
15．如图所示，，分别是正四棱柱上，下底面的中心，是的中点，，则下列结论正确序号有 .

①；
②；
③异面直线与所成角的余弦值为；
④平面与平面夹角的余弦值为.
三、解答题（共4小题；共40分）
16．已知向量
(1)若向量与垂直，求实数k的值； (2)若向量和是共面向量，求实数x的值．
17．已知直线圆表示函数的图像．
（1）写出圆M的圆心坐标；
（2）求圆心M到直线的距离；
（3）若点P在圆M上，点Q在L上，求的最小值．
18．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的余弦值．
19．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆上一点，且,求的面积.
参考答案：
1．A
【难度】0.85
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】由，化简得，
所以直线的斜率，又因为直线的倾斜角，
所以，得，故A正确.
故选：A.
2．B
【难度】0.94
【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可.
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，
所以的值为4.
故选：B
3．A
【难度】0.94
【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.
【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，
所以到另一个焦点的距离为.
故选：A
4．C
【难度】0.85
【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：.
5．D
【难度】0.85
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，以及，由公式即可得解.
【详解】由题意，以为原点，分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，，
所以，
则，
不妨设平面的法向量为，
所以，不妨令，解得，
即取平面的法向量为，
所以点D到平面的距离为.
故选：D.
6．D
【难度】0.85
【分析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.
【详解】因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.
7．A
【难度】0.85
【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或.
故选：A
8．B
【难度】0.85
【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.
【详解】由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.
故选：B
9．C
【难度】0.94
【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的，双曲线离心率，得，，即可求出双曲线的方程.
【详解】双曲线与椭圆有公共焦点
由椭圆可得
双曲线离心率，
双曲线的方程为：
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题.
10．B
【难度】0.65
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，
建立以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：

作为，C1,1,0，，设，其中，
所以，，
当，即，所以，显然方程组无解，
所以不存在使得，
即不存在点，使得，故①错误；
当时，解得，
即存在点Q，使得，故②正确；
因为，其中，
所以点到的距离为
，故③正确；
因为，，其中，
所以，
所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故④错误．
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
11．
【难度】0.85
【分析】利用直线的方向向量以及向量的夹角公式求解即可.
【详解】由已知，
由于异面直线夹角的取值范围为
所以异面直线的夹角为.
故答案为：
12．
【难度】0.85
【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离．
【详解】因为//，所以，解得，
， ，
由两平行直线的距离公式可得：，
故答案为：
13．
【难度】0.85
【分析】利用直径端点求出圆心和半径，再用标准方程求解即可.
【详解】是直径端点，
由两点间距离公式得直径长为，故半径为，
且设圆心为，由中点坐标公式得圆心，
故圆的方程为.
故答案为：
14．
【难度】0.85
【分析】根据离心率求得b求解.
【详解】解：已知双曲线的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线C的渐近线方程为，
故答案为：
15．①③④
【难度】0.65
【分析】根据题意，证得平面，进而得到，可判定①正确；根据题意，得到平面，结合平面，可得判定②错误；以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得，以及和的法向量，结合向量的夹角公式，可判定③正确、④正确．
【详解】对于①中，因为底面为正方形，且分别是正四棱柱上、下底面的中心，所以，

又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以①正确；
对于②中，由分别是正四棱柱上底面的中心，
可得是的中点，则平面，因为平面，
所以与不平行，所以②错误；
以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则A2,0,0，，，，，，，
可得，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，可得，所以，
又由，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
对于③中，由，所以③正确；
对于④中，由于平面的法向量为，平面的法向量为，
可得，所以平面与平面夹角的余弦值为，所以④正确．
故选：①③④．
16．(1)；
(2).
【难度】0.85
【分析】（1）根据向量的加法和数乘，可得坐标表示，根据垂直向量的坐标计算公式，可得答案；
（2）根据向量共面定理，建立向量和之间的表示，可得方程组，解得答案.
【详解】（1）由，，则，
因为，
所以，则，解得.
（2）由向量和是共面向量，则存在，使得，
则，解得，则.
17．（1）；（2）3；（3）.
【难度】0.85
【分析】（1）直接可求圆心坐标；
（2）根据点到直线的距离公式可得解；
（3）设，由，及点点距可得时，，进而减半径可得解.
【详解】（1）由圆，知圆心为；
（2）根据点到直线的距离公式得：
（3）设，则，
，
当时，，
此时取得最小值.
18．(1)证明见解析
(2)13
(3)
【难度】0.65
【分析】（1）通过取的中点为，再利用线线平行即可证明线面平行；
（2）利用空间向量法可直接求出二面角的余弦值；
（3）利用空间向量法可先求出线面角的正弦值，再利用同角关系求出余弦值即可.
【详解】（1）

取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得：
则四边形是平行四边形，所以；
又由于为棱的中点，又可得
则四边形是平行四边形，所以；
由平行的传递性可知：，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为2的正方体中，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，所以，
由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取，
所以，
由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为，
则，
所以二面角的余弦值为；
（3）由（2）得，平面的法向量可取，
则，
设直线与平面所成角为，则，
所以
即直线与平面所成角的余弦值为．
19．（1）；（2）.
【难度】0.65
【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，结合题意可得，于是可得所求方程．（2）在中，由椭圆的定义和余弦定理可得，然后根据三角形的面积公式可得所求．
【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，
∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）在中，由余弦定理得
，
又由椭圆的定义得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
C
D
D
A
B
C
B