安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷(解析版)

这是一份安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为1D. 在平面内的对应点位于第一象限
【答案】D
【解析】，
所以，A选项错误；
，B选项错误；
的实部与虚部之和为2，C选项错误；
对应点为，在第一象限，，D选项正确.
故选：D.
2. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，是边长为2正的直观图，
则，，则高，
故的面积.
故选：C.
3. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；
②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
③若直线在平面外，则.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在正方体中，
，与平面相交，则与平面相交，①正确；
若两条直线平行，则它们共面，因此这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确；
对于③，包括两种情形，直线或直线与相交，故③不正确.
故选：B.
4. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则由题设可得.
故选：A．
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
故选：C.
6. 设非零向量，满足，则（ ）
A. ⊥B.
C. ∥D.
【答案】A
【解析】由平方得，即，则.
故选：A.
7. 在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）．
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】，
，即，
且有意义即，
，
在中，为或.
故选：．
8. 五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】B
【解析】已知如图所示：
，
设，则，，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，可以获得观看的最佳视野.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数z的模为B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【解析】复数满足，整理得，
对于A：由于，故，故A错误；
对于B：由于，故，故B错误；
对于C：复数的虚部为，故C错误；
对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确.
故选：ABC．
10. 等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，
母线就是直角三角形的斜边，
所以所形成的几何体的表面积是，
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，
两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，
所以写成的几何体的表面积.
综上可知形成几何体的表面积是或.
故选：AB.
11. 的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A.
B.
C. 外接圆的面积为
D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】设的外接圆的半径为，
因为，所以，
所以，则外接圆的面积为，
因为，所以
所以，所以ABD正确，C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为________________.
【答案】21
【解析】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故.
故答案为：21.
13. 如图，在矩形中，已知，且，则__________.
【答案】
【解析】以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），
E（6，2），F（2，4），
∴（6，2），（﹣4，4），∴•24+8＝﹣16．
故答案为：﹣16．
14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________.
【答案】
【解析】点D为AC边的中点，，
则，即，
因为，所以，
由知，角C为锐角，故，
因，所以由基本不等式得：，
当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
解：（1）设，由题意每
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，
解得.
16. 已知向量，且．
（1）求及与的夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求实数的值．
解：（1）因为向量，
所以，
，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，故，
故，
因为与垂直，所以，解得.
17. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
（1）A处与D处的距离；
（2）灯塔C与D处的距离．
解：（1）在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，∠B=45°，
由正弦定理得.
（2）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcs30°，解得CD=，
所以A处与D处之间的距离为24 nmile，灯塔C与D处之间的距离为 nmile．
18. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱锥外接球的体积.
解：（1）∵在中，，
∴，
又在中，，，∴，
而点的圆柱的底面圆上，∴，
所以，
于是由，得，
∴，∴圆柱的表面积.
（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，
则外接球的球心是的中点，半径，
所以三棱锥外接球的体积.
19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.
（1）将用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
解：（1）因为，
，
所以，.
（2）因为，
所以，
在中，由余弦定理易得，
，
因为，所以，
当，即时，
取最大值取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.