安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为1D. 在平面内的对应点位于第一象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数除法运算化简，结合复数的模、共轭复数、实部和虚部、复数对应点的坐标等知识确定正确选项.
【详解】，
所以：，A选项错误.
，B选项错误.
的实部与虚部之和为2，C选项错误.
对应点为，在第一象限,，D选项正确.
故选：D
2. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则可得结果.
【详解】如图，是边长为2正的直观图，则，，则高，故的面积.
故选：C.

3. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；
②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
③若直线在平面外，则.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用模型可判断①正误；利用线面的位置关系可判断②的正误；利用线面位置关系的定义可判断③的正误.
【详解】在正方体中，
，与平面相交，则与平面相交，①正确；
若两条直线平行，则它们共面，因此这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确；
对于③，包括两种情形，直线或直线与相交，故③不正确.
故选：B.
4. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，，则的虚部为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设，则由题设可得，故应选答案A．
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：
6. 设非零向量，满足，则
A. ⊥B.
C. ∥D.
【答案】A
【解析】
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
7. 在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）．
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值.
【详解】解：，
，即，
且有意义即，
，
在中，为或，
故选：．
8. 五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设，表示出、，利用两角差的正切公式结合基本不等式可确定当时，可以获得观看的最佳视野.
【详解】已知如图所示：
，
设，则，，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，可以获得观看的最佳视野.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数z的模为B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：复数满足，整理得．
对于A：由于，故，故A错误；
对于B：由于，故，故B错误；
对于C：复数的虚部为，故C错误；
对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确；
故选：ABC．
10. 等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.
【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，
所以所形成的几何体的表面积是.
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，
所以写成的几何体的表面积.
综上可知形成几何体的表面积是或.
故选：AB
【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.
11. 的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A.
B.
C. 外接圆的面积为
D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.
【详解】解：设的外接圆的半径为,
因为，所以，
所以，则外接圆的面积为.
因为，所以
所以, 所以ABD正确，C错误.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为________________.
【答案】21
【解析】
【分析】由已知条件求出正六棱台体积，即可得到答案
【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故，
故答案为：21
13. 如图，在矩形中，已知，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，代入数量积公式计算．
【详解】以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），E（6，2），F（2，4）．
∴（6，2），（﹣4，4）．∴•24+8＝﹣16．
故答案为﹣16．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可简化数量积运算，是基础题．
14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此时角C取到最大值，求解得出结果.
【详解】点D为AC边的中点，，
则，即，
因为，所以，
由知，角C为锐角，故，
因，所以由基本不等式得：，
当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；
（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.
【详解】解：（1）设，由题意每，
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，解得
16. 已知向量，且．
（1）求及与的夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求实数的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的坐标运算及夹角公式求解；
（2）利用向量垂直的坐标表示求解.
【小问1详解】
因为向量，
所以，
，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，故，
故，
因为与垂直，所以，解得.
17. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
【答案】（1）24；（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcs30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
18. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱锥外接球的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得；
（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得.
【小问1详解】
∵在中，，
∴，
又在中，，，∴，
而点的圆柱的底面圆上，∴，
所以，
于是由，得，
∴，
∴圆柱的表面积.
【小问2详解】
三棱锥外接球即为圆柱的外接球，
则外接球的球心是的中点，半径，
所以三棱锥外接球的体积.
19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

（1）将用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）中利用正弦定理可表示出，
（2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值.
【小问1详解】
因为，，
所以，.
【小问2详解】
因为，
所以，
在中，由余弦定理易得，
因为，所以，
当，即时，
取最大值取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是根据已知条件在中利用余弦定理表示出，再利用三角函数恒等变换公式化简即可，考查数学计算能力，属于较难题.