(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第03讲幂函数、指数函数和对数函数(原卷版+解析)

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掌握5个幂函数的图象和性质。
掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。
能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小。
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。
了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。
【基础知识】
1．幂函数的概念
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
注意区分幂函数与指数函数：
幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；
指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．
2．五个简单幂函数的图象和性质
(1)图象比较
(2)性质比较
3．根式
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n∈N*)，当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：eq \r(n,a)；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±eq \r(n,a).式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(1)两个重要公式
① eq \r(n,a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a（n为奇数），,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂ar(a>0，r是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
6．指数函数的图象与性质
7．对数的概念
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
对数式与指数式的互化：ab＝N lgaN＝b；
负数和零没有对数；
lga1＝0，lgaa＝1．
8. 两个重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：lg N，
常用的两个恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．
(2)自然对数：以无理数e＝2.71828…为底的对数叫自然对数，记作：ln N，
常用的两个恒等式：ln e＝1 ，lneq \f(1, e )＝－1．
9．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R).
(2) 对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
＝N；lgaaN＝N (a>0且a≠1)．
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM.
10．对数函数的图象与性质
【考点剖析】
考点一：幂函数的概念
例1．下列函数中是幂函数的是________．
A.y＝2xB.y＝2xC.y＝x2D.y=2x

变1．已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．

解题策略 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
考点二：幂函数的图象
例2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )

变2．下列命题中正确的是________．
A.幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)
B.若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
C.幂函数的图象上的点一定不在第四象限
D.幂函数的图象不可能是直线

解题策略 若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α1，b1，b>0 C. 0