(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第11讲直线与平面、平面与平面的位置关系(原卷版+解析)

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1．掌握直线与平面平行、垂直的判定定理及应用。
2．掌握直线与平面平行、垂直的性质定理及应用。
3．掌握平面与平面平行、垂直的判定定理及应用。
4．掌握平面与平面平行、垂直的性质定理及应用。
【基础知识】
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
5.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图， 就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈ ．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 ．
如图的二面角，可记作：二面角 或二面角 ．
②二面角的平面角
如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则 就叫做二面角α­l­β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈ ．
④当θ＝eq \f(π,2)时，二面角叫做直二面角．
【考点剖析】
考点一：与线、面平行垂直相关命题的判定
例1-1． 已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，，，
例1-2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则

例1-3．平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A．平面内有一条直线与平面平行
B．平面内有两条直线分别与平面平行
C．平面内有无数条直线分别与平面平行
D．平面内有两条相交直线分别与平面平行

变1-1．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，，则

变1-2．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则

考点二：线面平行的证明
例2-1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.求证：平面BDE.

例2-2．如图，在空间四边形ABCD中，P， Q分别是△ABC和△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD.

变2-1．如图，四棱锥的底面是平行四边形，M是的中点，求证：平面．

变2-2．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD.


考点三：线面平行性质的应用
例3．如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面．
求证：（1）；
（2）平面．

变3．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．


考点四：面面平行的判定与性质
例4-1．如图，，，AB与CD不平行，M，N，P分别为线段AC，CB，BD的中点．求证：平面平面．


例4-2．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面

变4-1．如图，在正方体中，P，Q，R分别为棱，BC，上异于顶点的点，M，N，K分别为线段AP，PQ，QR的中点．求证：平面平面ABCD．

变4-2．如图，在正方体中，N，M分别为，的中点，E，F分别为，的中点.求证：平面平面.

考点五：线面垂直的判定与性质
例5-1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，则EF与平面BB1O的位置关系是_____.(填“平行”或“垂直”)

例5-2．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC．

变5-1．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.

变5-2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.

考点六：面面垂直的判定与性质
例6-1．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面PAB⊥平面PAC.

例6-2．如图，已知在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.

变6-1．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝a，BC＝eq \r(2)a.求证：平面PAB⊥平面PAC.
变6-2．如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,PB=BC=2,AC=1.
(1)证明:AC⊥平面PBC;
(2)求点C到平面PBA的距离.

考点七：平行与垂直的综合问题
例7．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点E为棱PD的中点.
（1）求证：平面PAB；
（2）求证：平面PAB.
变7．如图，已知正方体A1C．
（1）求证：A1C⊥B1D1；
（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．

考点八：线面角、二面角问题
例8-1．在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A．B．
C．D．

例8-2．如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
（1）求证：平面．
（2）若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．

变8-1．在长方体中，，，与平面所成的角为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变8-2．三棱锥中，，，，，则二面角的大小为______．

【真题演练】
1．（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．

2．（2018·浙江·高考真题）已知两条直线和平面，若，则是的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件

3．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．

4．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面

5．（2020·山东·高考真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.
（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

6．（2021·山东·高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．

7．（2021·湖南·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.
（1）证明：平面ACE；
（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.

8．（2021·全国·高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.

9．（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

【过关检测】
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是（ ）
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交

2．已知a，b，c为不同直线，为不同平面，给出下列命题：
：若，则；
：若，则内存在与a相交的直线；
：若，则；
：，若a不垂直于c，则a不垂直于b．
其中为假命题的是（ ）
A．B．C．D．

3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形

4．（多选）如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（ ）
A．B．平面C．D．

5．（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线与所成的角为

6．如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点，平面平面平面，且，则_______，与相交于点，则____.

7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：
①平面DE；
②平面AF；
③平面平面AFN；
④平面平面NCF.
其中正确结论的序号是______.

8．如图1，已知矩形中，，E为上一点且.现将沿着折起，使点D到达点P的位置，且，得到的图形如图2.
（1）证明为直角三角形；
（2）设动点M在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由.

9．如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D.
（1）求证：；
（2）已知，求的长.

10．如图，四边形为矩形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，求证：平面平面.

11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．
（1）指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；
（2）若，试求PC与平面ABCD所成角的正切值．

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
因为l∥a，
a⊂α，l⊄α，
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
因为l∥α，
l⊂β，α∩
β＝b，
所以l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
因为a∥β，
b∥β，a∩
b＝P，
a⊂α，b⊂α，
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面 ，那么它们的 平行
因为α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
所以a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
第11讲 直线与平面、平面与平面的位置关系
【学习目标】
1．掌握直线与平面平行、垂直的判定定理及应用。
2．掌握直线与平面平行、垂直的性质定理及应用。
3．掌握平面与平面平行、垂直的判定定理及应用。
4．掌握平面与平面平行、垂直的性质定理及应用。
【基础知识】
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
5.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．
如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．
②二面角的平面角
如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝eq \f(π,2)时，二面角叫做直二面角．
【考点剖析】
考点一：与线、面平行垂直相关命题的判定
例1-1． 已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，，，
【答案】A
【分析】
根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A正确，举反例可判定BCD错误.
【详解】
A. 若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故A正确；
B.若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；
C. 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；
D.若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D错误.
故选：A.
例1-2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：对于A：若，则或，故A错误；
对于B：若，则或与相交，故B错误；
对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；
对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；
故选：C
例1-3．平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A．平面内有一条直线与平面平行
B．平面内有两条直线分别与平面平行
C．平面内有无数条直线分别与平面平行
D．平面内有两条相交直线分别与平面平行
【答案】D
【分析】
根据平面与平面平行的判定定理可判断.
【详解】
对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；
对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.
故选：D.
变1-1．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，，则
【答案】D
【分析】
对于，与平行或异面；对于，与相交或平行；对于，与不一定垂直；对于，由线面垂直的判定定理得．
【详解】
对于，若，，，则与平行或异面，故A错误；
对于，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于，若，，，则与不一定垂直，故C错误；
对于，若，，，，则，
，，故D正确．
故选：
变1-2．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】B
【分析】
根据线面垂直的判定定理可以判断A；借助长方体可判断B；根据垂直于同一条直线的两个平面平行可以判断C；两条平行直线分别垂直于两个平面，则这两个平面平行.可以判断D.
【详解】
若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；若，，如图
设，平面为平面， ，平面为平面，，则，故B错误；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确；若，，则，又，则，故D正确.
故选：B.

考点二：线面平行的证明
例2-1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.求证：平面BDE.
【答案】见解析
【分析】
设与交于点，连接，可证得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】
设与交于点，连接，
因为四边形为正方形，
所以，
因为四边形ACEF是矩形，
所以∥，，
因为M是线段EF的中点，所以,
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
例2-2．如图，在空间四边形ABCD中，P， Q分别是△ABC和△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD.
【答案】证明见解析
【分析】
取BC的中点E，连接AE， DE，由重心性质可得PQ∥AD，再由线面平行的判定定理即可证明.
【详解】
证明：取BC的中点E，连接AE， DE.
因为P是△ABC的重心，所以AE∶PE＝3∶1，
因为Q为△BCD的重心，
所以DE∶QE＝3∶1，从而，
所以在△AED中，PQ∥AD.
又AD⊂平面ACD， PQ⊄平面ACD，所以PQ∥平面ACD.
变2-1．如图，四棱锥的底面是平行四边形，M是的中点，求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】
连结交于，连结，得，利用线面平行的判定定理即可证得.
【详解】
证明：连结交于，连结
因为是平行四边形，所以是中点.
因为M为的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面．
变2-2．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD.
【答案】证明见解析
【分析】
取AB中点E，连接CE，ME，证明MN//CE即可得解.
【详解】
在正方体中，取AB中点E，连接CE，ME，如图，
因M是的中点，则ME//AA1//CC1，且，
又N是的中点，于是得ME//CN，且，则有四边形CEMN是平行四边形，
从而有MN//CE，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD.

考点三：线面平行性质的应用
例3．如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面．
求证：（1）；
（2）平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（１）根据，可得平面，由平面平面，可以证得；
（2）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，可证的
平面
【详解】
（1）因为平面平面，
所以平面．
又因为平面平面平面，所以．
（2）如图，取的中点，连接，
则，且，
又因为，且，
所以，且．
所以四边形是平行四边形．
所以．
又因为平面平面，
所以平面．
变3．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，证明MN//PA，再借助比例式即可作答.
【详解】
四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，
因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，
而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，
连接MN，如图，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，
所以实数t的值为.
故选：C

考点四：面面平行的判定与性质
例4-1．如图，，，AB与CD不平行，M，N，P分别为线段AC，CB，BD的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】
由面面平行的判定定理求解即可
【详解】
因为，分别为，的中点，
所以，
因为，，
所以，
因为，分别为，的中点，
所以，
因为，，
所以，
又，平面，平面，所以，
所以平面平面．

例4-2．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】D
【分析】
由线面平行的判定定理，面面平行的性质定理依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
在直三棱柱中，
因为,平面,平面,所以平面，A正确；
因为平面平面，平面，所以平面，B正确；
取中点,连接,因为点，F分别是棱，BC的中点，所以,且,所以，四边形为平行四边形，所以,平面，平面,所以平面,C正确；
取中点,连接,可证得四边形为平行四边形，所以,与平面相交,所以与平面相交,D不正确；
故选:D.
变4-1．如图，在正方体中，P，Q，R分别为棱，BC，上异于顶点的点，M，N，K分别为线段AP，PQ，QR的中点．求证：平面平面ABCD．
【答案】证明见解析
【分析】
由面面平行的判定定理证明即可
【详解】
连接，
在中，因为M，N，分别为线段AP，FQ的中点．
所以，
又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
同理，因为平面，平面，
所以平面，因为平面ABCD平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面ABCD．
变4-2．如图，在正方体中，N，M分别为，的中点，E，F分别为，的中点.求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】
连接，先证明，，从而证明平面平面.
【详解】
如图，连接，
在正方体中，，.
因为E为棱的中点，N为棱的中点，
所以，.
所以，.
所以四边形为平行四边形.
所以，.
因为，，
所以，.
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为，平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
因为平面，平面，，
平面，平面，
所以平面平面.
考点五：线面垂直的判定与性质
例5-1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，则EF与平面BB1O的位置关系是_____.(填“平行”或“垂直”)
【答案】垂直
【分析】
由线面垂直判定定理可得.
【详解】
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥BB1，
又BO∩BB1=B，
∴AC⊥平面BB1O.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴EF⊥平面BB1O.
故答案为：垂直.
例5-2．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC．
【答案】证明见解析
【分析】
先证明平面，进而证明出，同理证明出，从而证明出平面PBC．
【详解】
证明：如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE．
∵平面ABC，BC平面ABC，∴，
∵（由于O是的垂心），，∴平面
∵平面，∴
因为为的垂心，∴点Q在PE上．
∵平面，平面，∴①
连接BO并延长交AC于点F，则．
连接BQ并延长交PC于点M，则．连接MF．
∵平面ABC，平面ABC，∴
∵，，∴平面
∵平面，∴．
∴而，∴平面，而平面，∴②
∵，由①②知：平面PBC．
变5-1．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.
【证明】 (1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2eq \r(3).
连接OB.因为AB＝BC＝eq \f(\r(2),2)AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝eq \f(1,2)AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知PO⊥平面ABC.
变5-2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.
【解析】如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD.于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.
考点六：面面垂直的判定与性质
例6-1．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面PAB⊥平面PAC.
【证明】由题设可知，PA＝PB＝PC，
由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.
又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，
从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC.
例6-2．如图，已知在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.
【解析】因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.
因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，BC⊥AC，
所以BC⊥平面AA1C1C.
又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，所以B1C1⊥A1C.
因为AC1∩B1C1＝C1，
所以A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，
所以A1C⊥AB1.
变6-1．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝a，BC＝eq \r(2)a.求证：平面PAB⊥平面PAC.
证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，
所以∠BAC即为二面角B­PA­C的平面角．
又AB＝AC＝a，BC＝eq \r(2)a，
所以∠BAC＝90°，
所以平面PAB⊥平面PAC.
变6-2．如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,PB=BC=2,AC=1.
(1)证明:AC⊥平面PBC;
(2)求点C到平面PBA的距离.
【解析】(1)证明∵PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴PB⊥AC.
取PC的中点D,连接BD.
∵PB=BC,
∴BD⊥PC.
∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,BD⊂平面PBC,
∴BD⊥平面PAC.
又AC⊂平面PAC,∴BD⊥AC.
∵PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBC.
(2)解易知平面PBA⊥平面ABC,AB为交线,在Rt△ABC中,过点C作CM⊥AB,交AB于点M,则CM⊥平面PBA.又AC·BC=AB·CM,∴CM=25=255,
即点C到平面PBA的距离为255.
考点七：平行与垂直的综合问题
例7．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点E为棱PD的中点.
（1）求证：平面PAB；
（2）求证：平面PAB.
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）构造平行四边形证明线面平行即可；
（2）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直.
【详解】
（1）证明：取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点，
所以，且.
又因为，且，
所以，且.
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，
因为平面PAB，平面PAB
所以平面PAB.
（2）因为平面ABCD，平面ABCD
所以
又因为，
所以，
又，､平面PAB
所以平面PAB.
变7．如图，已知正方体A1C．
（1）求证：A1C⊥B1D1；
（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
(1)线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.
(2)直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.
（1）
如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）
如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
考点八：线面角、二面角问题
例8-1．在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由正方体性质可得平面，可得为直线与平面所成角，即求.
【详解】
如图，连接AC，交于O ，连接OC，
∵点，分别为，的中点，
∴MN∥AC，
由正方体的性质可知CD⊥平面，
∴又，，
∴平面，
∴为直线AC与平面所成角，也即为直线与平面所成角，
在直角三角形ACO中，
∴.
故选：A
例8-2．如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
（1）求证：平面．
（2）若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】
（1）证明见解析．
（2）．
【分析】
（1）连接交于点，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行；
（2）证明平面，得是二面角的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．
（1）
连接交于点，连接，如图，
则是中点，又是中点，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）
平面，平面，所以，
又，是中点，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，所以是二面角的平面角，
由，，，得，，，所以，
．
变8-1．在长方体中，，，与平面所成的角为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
连接，，，由平面，可推出，易证，故或其补角即为所求，在中，由余弦定理求的值即可求解.
【详解】
连接，，，
∵平面，
∴即为与平面所成的角，即，
∵，∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，∴，
由长方体的性质知：，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴或其补角是直线与所成的角，
由勾股定理知，，
在中，由余弦定理知，，
∴直线与所成角的余弦值为，
故选：B.
变8-2．三棱锥中，，，，，则二面角的大小为______．
【答案】##
【分析】
P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．
【详解】
解：因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形，
又因为PA＝PB＝PC，
所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，且为AB中点．
设AB中点为D过D作DEAC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，
因为平面，平面，所以,
又因为平面,
所以平面,又平面,
所以,
所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4，
所以tan∠PED 所以∠PED＝60°，
即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°.
故答案为：60°．

【真题演练】
1．（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】
对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
故选：A．
2．（2018·浙江·高考真题）已知两条直线和平面，若，则是的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】
结合直线与直线，直线与平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】
当时，
若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，
故为假命题，故不充分；
若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，
故也为假命题，故不必要；
故是的既不充分又不必要条件
故选：D
3．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】
A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
故选：D
4．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【分析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.
5．（2020·山东·高考真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.
（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行；
（2）根据面面垂直的性质定理，可知平面，再结合线面角的定义，可得得到直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
证明：（1）连接，
设点为的中点，连接，，
在中，又因为点为中点，
所以.
同理可证得，
又因为，分别为正方形的边，的中点，
故，所以.
又因为，所以平面平面.
又因为平面，所以平面.
（2）因为为正方形，，分别是，的中点，
所以四边形为矩形，则.
又因为二面角为直二面角，平面平面，平面，
所以平面，
则为直线在平面内的射影，
因为为直线与平面所成的角.
不妨设正方形边长为，则，
在中，，
因为平面，平面，所以，
在中，，
，
即为直线与平面所成角的正弦值.
6．（2021·山东·高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.
【详解】
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，
又在正方形中，因此，
因此与所成角的余弦值是．
（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，
因此平面，又因为平面，因此．
7．（2021·湖南·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.
（1）证明：平面ACE；
（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1) 连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面.
(2)由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接交于点，连接. 在中，因为，
所以，因为平面，平面，则平面.
（2）因为平面ABCD，所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，
又，，所以，
所以四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积为.
8．（2021·全国·高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
【详解】
(1)如图所示，连结AF，
由题意可得：，
由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，
而平面，故，
从而有，
从而，
则，为等腰直角三角形，
，.
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
【点睛】
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.
9．（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【分析】
（1）通过证明，来证得平面.
（2）通过证明平面，来证得平面平面.
【详解】
（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.
【过关检测】
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是（ ）
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
【答案】D
【分析】
A. 由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的性质来判断， C. 由无数条不代表所有的来判断，D. 由直线与平面平行的定义来判断.
【详解】
A. 无数个点不是所有点，所以不正确；
B. 可以平行 可以异面，所以不正确；
C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；
D. 由直线与平面平行的定义，正确.
故选：D.
2．已知a，b，c为不同直线，为不同平面，给出下列命题：
：若，则；
：若，则内存在与a相交的直线；
：若，则；
：，若a不垂直于c，则a不垂直于b．
其中为假命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
：利用面面平行的判定定理判断；：利用线面平行的定义判断；：举例判断；：举例判断.
【详解】
：若，则，又，则，故正确；
：若，则直线与平面无公共点，所以内不存在与a相交的直线，故错误；
：如图所示：在正方体中，平面 平面 ，，但平面 与平面 不垂直，
所以若，则不一定垂直，故错误；
：如图所示：在正方体中，平面平面 ，平面 平面 ， 不垂直于BC，但 ，故错误；
故选：D
3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【答案】B
【分析】
根据线面平行的判定定理分析判断即可
【详解】
因为E，F分别为AB，AD上的点，且，
所以∥，，
因为，H，G分别为BC，CD的中点，
所以∥，，
所以∥，，
所以四边形为梯形，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，
若平面ADC，则由线面平行的性质可得∥，而与不平行，所以与平面ADC不平行，
故选：B
4．（多选）如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（ ）
A．B．平面C．D．
【答案】BD
【分析】
利用线面平行的性质结合线面平行的判定可得出结论.
【详解】
因为平面，平面，平面平面，，
平面，平面，因此，平面.
故选：BD.
5．（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】
根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为截面是正方形 ，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面,平面平面
所以
因为截面，截面，
所以截面，故B正确
同理可证
因为，所以，故A正确
又
所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
6．如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点，平面平面平面，且，则_______，与相交于点，则____.
【答案】1
【分析】
根据全等关系可证，利用面面平行的性质定理证明，结合中位线以及线段长度可求的值和的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，所以，且.
又分别是的中点，所以，
又，
所以，所以.
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，则是的中点，即，故.
因为，所以.
故答案为：；.
7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：
①平面DE；
②平面AF；
③平面平面AFN；
④平面平面NCF.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①②③④.
【分析】
将图形还原为正方体，进而根据点线面的位置关系及线面平行和面面平行的判定定理判断答案.
【详解】
如图，
对①，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面DE，平面DE，则平面DE.正确；
对②，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面AF，平面AF，则平面AF.正确；
对③，因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，所以，而，所以平面BDM∥平面AFN.正确；
对④，因为，所以四边形是平行四边形，所以，同由③：，而，所以平面平面NCF.正确.
故答案为：①②③④.
8．如图1，已知矩形中，，E为上一点且.现将沿着折起，使点D到达点P的位置，且，得到的图形如图2.
（1）证明为直角三角形；
（2）设动点M在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）答案不唯一，见解析
【分析】
（1）利用折叠前后的线段长度及勾股定理求证即可；
（2）动点M满足时和，但时两种情况，利用线线平行或相交得到结论.
（1）
在折叠前的图中，如图：
，E为上一点且，
则，
折叠后，所以，又，
所以，所以为直角三角形.
（2）
当动点M在线段上，满足，同样在线段上取，使得，则，
当时，则，又且所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以此时平面；
当时，此时，但，
所以四边形为梯形，所以与必然相交，所以与平面必然相交.
综上，当动点M满足时，平面；
当动点M满足，但时，与平面相交.
9．如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D.
（1）求证：；
（2）已知，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由面面平行的性质定理得证线线平行；
（2）由平行线的性质可求得线段长．
【详解】
（1），所以确定一个平面，
由题意平面，平面，
所以；
（2）由（1），所以，所以，
所以．
10．如图，四边形为矩形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，求证：平面平面.
【答案】证明见解析.
【分析】
因为四边形为矩形，得到，证得平面，由题意得到，证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面.
【详解】
因为四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面,所以平面，
因为和均为等腰直角三角形，且，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，且，
所以平面平面.
11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．
（1）指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；
（2）若，试求PC与平面ABCD所成角的正切值．
【答案】
（1）图中三角形、、、均为直角三角形，理由见解析；
（2）.
【分析】
（1）由平面，可得三角形、为直角三角形；再由已知证明平面，则，得三角形为直角三角形，同理说明为直角三角形；
（2）连接，由已知可得，可知为与平面所成角，设，三角形可得与平面所成角的正切值．
（1）
解：图中三角形、、、均为直角三角形．
原因如下：
平面，
，，则三角形、为直角三角形；
平面，，
又，且，
平面，则，
三角形为直角三角形，同理说明为直角三角形；
（2）
解：连接，由已知可得，
可知为与平面所成角，
设，则，
，即与平面所成角的正切值为．
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
因为l∥a，
a⊂α，l⊄α，
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
因为l∥α，
l⊂β，α∩
β＝b，
所以l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
因为a∥β，
b∥β，a∩
b＝P，
a⊂α，b⊂α，
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
因为α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
所以a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α