(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第07讲解三角形(原卷版+解析)

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1．掌握两角和与差的三角函数。
2．掌握二倍角的三角函数。
3.掌握常见的几个三角恒等式。
4.熟练应用三角恒等变换解决三角函数问题。
【基础知识】
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC=12a·h(h表示a边上的高).
(2)S△ABC=12absin C=12acsin B=12bcsin A=abc4R.
(3)S△ABC=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).
3.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1).
(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.
(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2).
(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.
【考点剖析】
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1-1．在中，，,，则（ ）
A．B．C．D．


例1-2．在中，，，，则b的值为（ ）
A．B．C．D．


例1-3．在中，若，则______．

变1-1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ）
A．B．C．D．

变1-2．在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．或

变1-3．在中，已知，，，则______．

考点二：判断三角形的形状
例2-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形

例2-2．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．不确定

例2-3．在中，若，则的形状是（ ）．
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定


变2-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形


变2-2．已知的三个内角、、满足，则的形状是______．

考点三：三角形解的个数问题
例3．满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．不存在

变3．已知中，分别为角的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，

考点四：三角形的面积问题
例4．在中，若，，，则的面积是______．

变4．在中，若面积，则______．

考点五：正弦、余弦定理与三角变换的综合问题
例5-1.在中，角所对的边分别为，，则______

例5-2.在锐角中，，，且，则______．

变5．对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为

考点六：正弦、余弦定理在实际问题中的应用
例6-1．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）
A．150°B．30°C．45°D．60°

例6-2．如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km


变6．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.

【真题演练】
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或

2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3

3．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距

4．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473

二、双空题
5．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.

三、填空题
6．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________

7．（2021·山东·高考真题）在△中，，，，等于______．

8．（2021·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

四、解答题
9．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）

10．（2021·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.

11．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．

12．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

13．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；

【过关检测】
1．已知是三边长，若满足，则（ ）
A．B．C．D．

2．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．

3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的外接圆直径为（ ）
A．B．60C．D．

4．在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为（ ）．
A．B．
C．或D．或

5．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．A．B．C．D．

6．已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

7.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积是，，a＝2c，则b＝（ ）
A．2B．4C．6D．8

二、填空题
8．在中，已知，，，则______．

9.在△ABC中，已知A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝______．

10.在钝角中，，，，，则的取值范围是______．

11.已知，则满足该条件的有______个．

12. “一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cs∠DEF=_______.


三、解答题
13．在中，角所对的边分别为，且满足，求.


14．在中，已知，试判断的形状.

15. (1)在中，已知，，且最大角为，求的三边长.
(2)在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度.

16. （1）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，，求的值；
（2）在圆的内接四边形ABCD中，，，，，求的值（用a，b，c，d表示）.


17．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？

正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)
a2=b2+c2-2bccs A;
b2=a2+c2-2cacs B;
c2=a2+b2-2abcs C
常见
变形
(1)a=2Rsin A,b=
2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;
(3)a∶b∶c=sin A∶
sin B∶sin C
cs A=b2+c2-a22bc;
cs B=a2+c2-b22ac;
cs C=a2+b2-c22ab
解决的
问题
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角
1.在△ABC中,常有以下结论
(1)∠A+∠B+∠C=π.
(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)sin(A+B)=sin C;cs(A+B)=-cs C;tan(A+B)=-tan C;sinA+B2=csC2;csA+B2=sinC2.
(5)tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs Ac2,则C∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs Ac2,则C