人教版第一册上册对数达标测试

这是一份人教版第一册上册对数达标测试，共13页。试卷主要包含了对数的概念，常用对数与自然对数，1B．8等内容，欢迎下载使用。

一.对数的概念
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
二.对数与指数的关系与性质
1．对数与指数的关系
(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒lgaN＝x.
(2)对数恒等式：algaN＝N；lgaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
2．对数的性质
(1)lga1＝0 (a>0，且a≠1)．
(2)lgaa＝1 (a>0，且a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
三.对数运算性质
1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R).
拓展：lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(n∈R，m≠0).
2.换底公式
对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
特别地：（1）lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).
(2)lgab·lgbc·lgca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．
一．对数与指数的关系示意图．
二．指数式与对数式互化
1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
三．利用对数运算性质化简与求值
1.基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
2.两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
考点一 对数的概念
【例1】（2022秋·上海徐汇）若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】对于等式，有，解得且，
因此，的取值范围是.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据真数大于0得，解得，故答案为：.
2．（2022秋·上海虹口）使得表达式有意义的x范围是 ．
【答案】
【解析】式子要有意义，则，解得，所以x范围是.
故答案为：.
考点二 指数式与对数式的互化
【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．
(1) (2) (3).(4)；(5)；(6)；(7).
【答案】(1)(2)(3)(4)；（5)；(6)；(7).
【解析】（1）由可得.
（2）由，可得.
（3）由，可得.
（4）由，可得；
（5）由，可得；
（6）由，可得；
（7）由，可得.
【一隅三反】
（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．
(1)； (2)； (3)； (4).
(5)； (6)； (7)； (8)．
(9)； (10)； (11)； (12)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
(9)(10)(11)(12)
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
（5），可得.
（6），可得.
（7），可得.
（8），可得.
（9）
（10）
（11）
（12）
考点三 对数运算性质
【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x的值．
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）∵，∴，∴；
（2）∵，∴，∴；
（3）由可得，，故，所以.
【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】（1）；
（2）；
（3）
（4）
【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
(3)；
(4)
(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)（5）3
【解析】（1）解法一：
原式.
解法二：原式.
（2）原式
.
（3）原式
（4）原式
（5）原式．
【一隅三反】
1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或的值）：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）由，得，所以；
（2）由两边取以10为底对数，得，即，解得；
（3）由，得，
所以，即；
（4）.
2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
(5) .
(6) .
(7)；
(8)
(9)；
(10)
(11),
(12),
【答案】(1)1(2)(3)(4)(5)(6)2(7)(8)(9)(10)(11)(12)
【解析】（1）原式可化为：
（2）原式可化为：
（3.
（4）.
（5）
＝
＝
＝
＝
（6）
=2
（7）；
（8）
．
（9）
；
（10）.
（11）
（12）原式为:
考点四 对数与指数的综合应用
【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
所以，
所以.
故选：B.
【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（ ）
A．或B．
C．D．2或
【答案】D
【解析】令，则，
所以，解得或，
所以或，
所以或，
因为，所以或，
所以或，
所以或，
故选：D
【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【答案】证明见解析
【解析】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.
【一隅三反】
1．（2023春·天津）已知，则的值（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，故选：C
2．（2023秋·广东）已知，则 .
【答案】2
【解析】由题意可得，，则，，
故.
故答案为：2.
3．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则的值为 ．
【答案】2
【解析】因为，，所以，，
所以．
故答案为：2
4．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以A不对；
因为，所以B不对；
因为，所以C不对；
因为，D正确.
故选D.
考点五 对数的实际应用
【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【答案】D
【解析】由已知可得.
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
【答案】B
【解析】设原始量为，每年衰变率为，
，
，
，
，
.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（，）
A．万年B．万年C．万年D．万年
【答案】A
【解析】万年用掉个二维码，大约能用万年，设，
则
即万年，
故选：A
3．（2023秋·江苏南通 ）已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】D
【解析】，则，所以，∴.故选：D.名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
lg10N记为lg N
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.718 28…
lgeN记为ln N