江苏省泰州市2024届高三第四次调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省泰州市2024届高三第四次调研测试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，解得，
所以，
所以．
故选：C.
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.
故选：A
4. 的展开式中的系数是（ ）
A. B. C. 5D. 15
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为，
故的系数为，的系数为，
故展开式中系数为.故选：B.
5. 在平行四边形中，若则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】由可得
，
因，故时，，即的最小值为.故选：B．
6. 在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】由题意易知，与坐标轴交于与
因为，所以必过于是如下图：
由割线定理得，得，即第四个交点为
所以．，
故选：A.
7. 已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A. -3B. -2C. D.
【答案】C
【解析】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，
因奇函数定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，
即，解得
此时为奇函数，则
解得故.
故选：C．
方法二：依题意恒成立，代入得
化简得，,
整理得：，
即(*)，
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，
回代(*)可得，，即，故.
故选：C.
8. 设的内角的对边分别为若，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法1：由，
可得，
所以，所以，
又由，所以，
可得，所以，可得为钝角，为锐角，
设，
可得，即
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，所以.故选：D.
解法2：由，
可得，可得，
则角为钝角，为锐角，过点作，如图所示，
在直角中，可得，
在直角 中，可得，
由，可得，即为的中点，
取的中点，则，可得，
可得点在以为直径的圆上，此圆的半径为，所以最大面积为.
故选：D.
二、选择题
9. 甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ）
A. 甲的众数大于乙的众数
B. 甲的平均数大于乙的平均数
C. 甲的极差大于乙的极差
D. 甲的60百分位数大于乙的60百分位数
【答案】ABD
【解析】对于A，甲的众数为20，而乙的众数为9，故甲的众数大于乙的众数，A正确；
对于B，因甲平均数 ，
而乙平均数，故B正确；
对于C，甲的极差为，而乙的极差为，故C错误；
对于D，先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30，
由知甲的60百分位数为；
再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，
则乙的60百分位数为，故D正确.
故选：ABD.
10 已知函数则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C. 函数区间上有2个零点
D. 函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
对于当时，而，故A正确；
对于将向左平移个单位后可得，
为奇函数，关于原点对称，故B错；
对于当时，，
因在上仅有2个零点，
故在上也仅有2个零点，故C正确；
对于当时，因在上单调递增，
故在上单调递增，故D正确.
故选：ACD．
11. 在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A. 存在点和实数，使得
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为
D. 若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为
【答案】BC
【解析】方法一：对于A，取中点，中点，连接，，
正三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面，平面，，而为的重心，
，
到平面的距离为，
而到平面的距离为，
球与平面相离，则不存在这样的和实数，使，A错．
对于B，到平面的距离为，球半径，
则到平面的最大距离为，
，B正确．
对于C，设为球的的上顶点，平面于点，与球相切且与平面共面，，，
设，则有，
得，
，C正确．
对于，过且与垂直的平面为平面，到平面的距离等于倍的到平面的距离，即，而球半径，
则平面截球的截面圆半径，
所以截面圆周长即的轨迹长度为，D错.故选：BC．
方法二：对于A，如图：
左图中为中点，为在平面上的投影．
右图为俯视图下看球，由于为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，
所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径．
而，因此球与底面不相交，因此是错的；
对于B，有，正确；
对于C，作出平面的截面如下图：
当最大时的位置如上图所示，不难计算出，
所以，
那么此时，所以C正确；
对于D，轨迹即过B且垂直于的平面与球的交线圆，而，
此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错．
故选：BC．
三、填空题
12. 一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是______．
【答案】
【解析】由题意，所求概率.故答案为：.
13. 已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为______．
【答案】4
【解析】方法一：可知直线过左焦点，斜率，
且直线与双曲线相交，可知，则，
联立方程，消去x可得，
设，则，
由可知，与联立可得，
代入可得，则，
所以双曲线的离心率；
方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角，
可得，，
因为，
可知，
即，整理可得，
所以双曲线的离心率；
方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程，
代入双曲线可得，
整理得，
可知两解为，
由可知，则，
即，整理可得，
所以双曲线的离心率；
方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系，
则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离．
由直线的倾斜角为可知，取可得两点，
由条件知在的延长线上，则当时为负值，
可得，
则，即，解得.
故答案为：4.
14. 已知表示数，其中数列单调递增，且为正整数．当时，记所有满足条件的的个数为当时，______；当时，______．
【答案】
【解析】方法一：
第一空：而单调递增从共6个数字中选4个排序即可，
第二空：
．
方法二：
第一空相当于在中选出4个数由小到大作为至，；
第二空：令，则依题意有：,
这等价于从沿着网格线走到，而且每次只能向右或向上走，每一条路线对应一个，由此可知，所以.
故答案为：
四、解答题
15. 如图，在正四棱锥点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
（1）证明：在正四棱锥中，取中点分别为以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
则
因为所以
所以
因为所以，即．
（2）解：设平面的一个法向量为
，
，
取，，得
又因为平面的一个 法向量为
所以所以二面角的余弦值为．
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若求在区间上的极值点的个数．
解：（1）
当时
切点为切线的斜率为所以切线方程为．
（2）设
则
当时，有所以在上单调递减，即在上单调递减，因为
所以
且在上的图象是不间断的，
所以在上没有零点，
所以当时在区间上的极值点的个数为0．
17. 在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值.
解：（1）因为点在椭圆上，且，所以
又因为过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为
所以即，代入得：，
再由，可得：，
解得：故椭圆的方程为.
（2）设所以直线的方程为
则点到直线的距离为
所以三角形的面积
因为点在直线上，
所以
由得
所以
因为所以
当且仅当时等号成立，
所以的面积的最大值为.
18. 假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．
（1）当时，若甲射击次，命中目标的次数为．
①求；
②若其中求的值．
（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．
解：（1）①由题意知所以．
②其中
设
则
所以
因为其中
所以，所以或
当时舍去，
当时满足题意，综上所述．
（2）的可能取值为．
对任意，，
故所求的有序实数对为．
19. 已知数列和满足：.
（1）设求的值；
（2）设求数列的通项公式；
（3）设证明：______.
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
解：（1）令得
因为
所以.
（2）因为所以
因为所以即
因为所以
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，所以.
（3）若选①，因为当且仅当时等号成立，
所以所以
因为所以即
所以故．
所以
即.
若选②，因为所以．
当时，有
.
所以
，
即场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
18
20
22
13
20
27
10
21
19
30
乙
3
10
20
9
24
27
13
28
9
17