江苏省泰州市2024届高三第四次调研测试数学试题

这是一份江苏省泰州市2024届高三第四次调研测试数学试题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合则（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中的系数是（ ）
A．-10B．-5C．5D．15
5．在平行四边形中，若则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
6．在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
7．已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-3B．-2C．D．
8．设的内角的对边分别为若则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ）
A．甲的众数大于乙的众数
B．甲的平均数大于乙的平均数
C．甲的极差大于乙的极差
D．甲的60百分位数大于乙的60百分位数
10．已知函数则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C．函数在区间上有2个零点
D．函数在区间上单调递增
11．在正三棱柱中的重心为以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点和实数使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．若直线与平面所成的角为则的最大值为
D．若则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是______．
13．已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若则双曲线的离心率为______．
14．已知表示数，其中数列单调递增，且为正整数．当时，记所有满足条件的的个数为当时，
______；当时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在正四棱锥点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
16．（15分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若求在区间上的极值点的个数．
17．（15分）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值．
18．（17分）假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．
（1）当时，若甲射击次，命中目标的次数为．
①求；
②若其中求的值．
（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．
19．（17分）已知数列和满足：．
（1）设求的值；
（2）设求数列的通项公式；
（3）设证明：______．
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明．
①；②其中．
注：若两个问题均作答，则按第一个计分．
泰州市2024届高三第四次调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（为虚数单位），则【答案】B
A．B．C．D．
2．已知集合则【答案】
A．B．C．D．
．
3．抛物线的准线方程为【答案】A
A．B．C．D．
所以准线为
4．的展开式中的系数是【答案】B
A．-10B．-5C．5D．15
写成展开，所以系数为
5．在平行四边形中若
则的最小值为【答案】B
A．B．C．1D．
所以最小值就是到直线的距离，易得
选B．
6．在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是【答案】A
A．B．1C．2D．3
与坐标轴交于与而必过于是如下图
由割线定理易知第四个交点为所以．
7．已知函数若函数的图象关于点对称，则【答案】
A．-3B．-2C．D．
方法一：是奇函数奇函数定义域关于原点对称
无意义，时得数为
此时为奇函数，，选：C．
方法二：依题意恒成立，代入得
所以．
8．设的内角的对边分别为若则面积的最大值为【答案】D
A．B．C．D．
方法一：
，而
故为钝角为锐角，设
时可取“”，
，选D．
方法二：条件展开得
得，则必为钝角（若为钝角则矛盾），
于是作高如下图：
则由知为中点，取中点则从而在以为直径的圆上，此圆半径为所以最大面积为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有
A．甲的众数大于乙的众数
B．甲的平均数大于乙的平均数
C．甲的极差大于乙的极差
D．甲的60百分位数大于乙的60百分位数
【答案】ABD
甲众数乙众数，求和计算知甲平均数乙平均数
甲极差乙极差
甲乙按大小顺序排为10，13，18，19，20，20，21，22，27，30
3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，甲的60百分位数乙的60百分位数
10．已知函数则
A．函数的图象关于点对称
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C．函数在区间上有2个零点
D．函数在区间上单调递增
【答案】ACD
方法一：
对于当时，A正确．
对于将向左平移个单位后
为奇函数，关于原点对称错．
对于当时，，当即时
在上有2个零点，C正确．
对于当时，此时在上单调递增，D正确，
选：ACD．
方法二：和差化积易得
A正确，因为B平移后变成不关于对称，错，
正确，两零点为，D易知正确．
11．在正三棱柱中的重心为以为球心的球
与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有
A．存在点和实数使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．若直线与平面所成的角为则的最大值为
D．若则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为
【答案】
方法一：
取中点中点连接
平面而为的重心，
到平面的试卷公益Q群36334393距离为而到平面的距离为球与平面相离不存在这样的和实数使A错．
对于到平面的距离为球半径
B正确．
对于C，设为球的的上顶点平面于点与球相切且与平面共面，设
，C正确．
对于过且与垂直的平面为平面到平面的距离等于倍的到平面的距离，即而球半径平面截球的截面圆半径截面圆周长即的轨迹长度为，D错，选：BC．
方法二：如图：
左图中为中点为在平面上的投影．
右图为俯视图下看的球，由于为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径．
而因此球与底面不相交，因此是错的；
对于B，有正确；
对于C，作出平面的截面如下图：
当最大时的位置如上图所示，不难计算出
所以那么此时
所以C正确；
对于D，轨迹即过且垂直于的试卷公益群36334393平面与球的交线圆，而此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是______．
【答案】
13．已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若则双曲线的离心率为______．
【答案】4
方法一：直线的倾斜角
双曲线的离心率．
方法二：将直线方程写为参数方程代入双曲线可得
恰好可以因式分解为
所以两解为依题意即有从而．
方法三：极坐标法
若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系，则双曲线方程可以写为其中为焦点到相应准线的距离．
由直线的倾斜角为可知，取可得两点，而由条件知在的延长线上，则当时为负值，所以有
所以．
14．已知表示数，
其中数列单调递增，且为正整数．当时，记所有满足条件的的个数为当时______，当时______．
【答案】
方法一：第一空：而单调递增从1—6共6个数字中选4个排序即可，．
第二空：
．
方法二：第一空相当于在中选出4个数由小到大作为至即；
第二空：令则依题意有
这等效于从沿着网络线走到试卷公益Q群36334393且只能向右或向上走，每一条路线对应一个由此可知所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在正四棱锥点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
（1）在正四棱锥中，取中点分别为以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
则
因为所以
所以
因为
所以即．
（2）设平面的一个法向量为
把代入
取得
又因为平面的一个 法向量为
所以
所以二面角的余弦值为．
16．（15分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若求在区间上的极值点的个数．
（1）当时
切点为切线的斜率为所以切线方程为．
（2）设
则
当时，有所以在上单调递减，即在上单调递减，
因为
所以且在上的图象是不间断的，
所以在上有唯一的零点，设为
则当时在上单调递增，
当时在上单调递减，
所以是在区间上的唯一的极值点．
综上可知，当时在区间上的极值点的个数为1．
17．（15分）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点
在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值．
（1）因为点在椭圆上，所以
因为过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为
所以所以
故椭圆的方程为．
（2）设
所以直线的方程为
则点到直线的距离为
所以
因为点在直线上，
所以
由得
所以
因为所以
当且仅当时等号成立，
所以的面积的最大值为．
18．（17分）假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．
（1）当时，若甲射击次，命中目标的次数为．
①求；
②若其中求的值．
（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得0分，单次命中目标得1分；若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．
（1）①由题意知所以．
②其中
设
则
所以
因为其中
所以，所以或
当时舍去，
当时满足题意，
综上所述．
（2）的 可能取值为．
对任意
故所求的有序实数对为．
19．（17分）已知数列和满足：．
（1）设求的值；
（2）设求数列的通项公式；
（3）设证明：______．
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明．
①；②，其中．
注：若两个问题均作答，则按第一个计分．
（1）令得
因为所以．
（2）因为所以
因为所以
即
因为所以
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，所以．
（3）若选①
因为当且仅当时等号成立，
所以所以
因为所以
即
所以故．
所以
即．
若选②
因为所以．
当时，有
所以
，
即
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
18
20
22
13
20
27
10
21
19
30
乙
3
10
20
9
24
27
13
28
9
17
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
18
20
22
13
20
27
10
21
19
30
乙
3
10
20
9
24
27
13
28
9
17