广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题（解析版）

这是一份广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】由题意，，
则子集个数为.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】由题知，则同号，当时，有，
当时，有，故能推出，
当成立时，又，对不等式两边同时乘以可得，
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
3. 下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A. ①②B. ②③C. ③D. ③④
【答案】C
【解析】对于①中，函数与，
则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于③中，函数，与，
可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于④中，函数，与，
可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数．
综上，是同一函数的只有③．
故选：C．
4. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人．
A. 3B. 9C. 19D. 14
【答案】C
【解析】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：，解得，所以只参加一项比赛的有人.
故选：C．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若,，则
【答案】D
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；
对于B，若，满足，但，故B错误；
对于C，因，，由，可得，故C错误；
对于D，由，得，因，则，故D正确．
故选：D．
6. 已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]
【答案】D
【解析】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得，解得.
故选：D.
7. 已知关于x的方程，下列结论错误的是（ ）
A. 方程无实数根必要条件是
B. 方程有一正一负根的充要条件是
C. 方程有两正实数根的充要条件是
D. 方程有实数根的充要条件是或
【答案】D
【解析】A选项，方程无实数根的充要条件是，
解得，，故必要条件是，故A正确；
B选项，方程有一正一负根的充要条件是，
解得，B正确；
C选项，方程有两正实数根的充要条件是，
解得，C正确；
D选项，方程有实数根的充要条件是，
解得，D错误.
故选：D．
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】由两个正实数满足，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
又由不等式有解，可得，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若则
B 若则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】若，则，又，则，A选项正确；
若，满足，但，不成立，B选项错误；
若，，满足，但，不成立，C选项错误；
，则，又，∴，即，D选项正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；
对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设a=-1，
则由韦达定理可得，，
所以不等式，故C正确；
对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.
故选：CD.
11. 设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点P，如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 矩形的面积有最大值B. 的周长为定值
C. 的面积有最大值D. 线段有最小值
【答案】BCD
【解析】对于选项A：设，则，
因为，所以．
矩形的面积，
因为，所以无最大值．故A错；
对于选项B：根据图形折叠可知与全等，
所以周长为．故B正确；
对于选项C：设，则，有，
即，得，
，
当时，取最大值．故C正确；
对于选项D：因为，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为.
13. 若，则= ____________
【答案】
【解析】由题设，根据集合元素的互异性，
所以=.
14. 若函数y=fx在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围______________________．
【答案】
【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
由，即函数在有两个不等的实数根；
设，
所以，解得．
若，则，
由，
两式相减可得，所以，
从而，即，
同理可得，
设，所以，解得．
综上可得，实数的取值范围为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合.
（1）求
（2）；
（3）若，求实数a的取值范围.
解：（1）因为，
所以，
.
（2）由（1）知，所以，
由，得，
所以.
（3）由，可得，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
16. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合.
（2）由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，
故且等号不同时成立，解得，
综上所述，的取值范围是.
17. 某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
（1）若矩形草坪长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
解：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为10米.
（2）记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，
当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米.
18. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）当时，求函数的解析式.
解：（1）因为时，函数的式为，所以，
因为为上的奇函数，所以.
（2）证明：设，则，所以，
因为时，，则，
所以，所以在上是减函数.
（3）当时，，则，
所以.
19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
（1）函数①；②；③，其中函数 是在上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
（3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
解：（1）对于①，当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②，当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③，当时，，当时，，
∴，不符合题意.
故答案为：①.
（2）①二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，，
当时，则当时，随的增大而减小，
，，
综上所述，或；
②二次函数为，对称轴为直线，
当，，
当时，，
当时，．
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得（舍去），；
若，则，解得，（舍去）；
若，则，解得（舍去）．
综上所述，或.
（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，
又，，，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
∴，
，为整数，且，，即的值为5，
又∵，，
．