四川省雅安市2023_2024学年高一数学上学期1月月考试题含解析

这是一份四川省雅安市2023_2024学年高一数学上学期1月月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解二次不等式化简集合A，再利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：D.
2. 函数的最小值为（）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦函数的值域算出结果.
【详解】因为，
所以，
所以最小值为，
故选：B
3. 已知偶函数，当时，，则（）
A. B. C. 7D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】函数为偶函数，有，代入解析式求解即可.
【详解】是偶函数，当时，，
则.
故选：B
4. 若角的终边经过点，则的值可以为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案.
【详解】由点位于第二象限可得，角为第二象限角.
又，
则当时，有.
所以，与终边相同的角的集合为.
因为满足，不满足，不满足，不满足.
故选：A.
5. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数的性质可得，结合充分条件和必要条件的定义判断即可、。
【详解】正弦函数在上单调递增，，则，
所以时不能得到，而时一定有，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
6. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的性质，对数函数的运算，即可判断选项.
【详解】，即，
，所以，
，即，
，所以，
综上可知，.
故选：C
7. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据将所求角用两角差的正切展开代入求值.
【详解】
.
故选：B
8. 已知函数有4个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数与，从而将问题转化为与，和与的图象交点问题，结合图形即可得解.
【详解】令，
令，
作出与的大致图象，如图，
显然与的图象至多有2个零点，与的图象至多有2个零点；
因为有4个零点，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用参数分离法，构造了函数与，从而数形结合即可得解.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中为臭氧的初始含量，则（）
A. 随时间的增加，臭氧的含量减少B. 随时间的增加，臭氧的含量增加
C. 当时，D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性，即可判断A、B项；代入，即可判断C、D.
【详解】对于A、B项，因函数单调递增，单调递减，
所以，复合函数的单调递减.
所以，随时间的增加，臭氧的含量减少，故A正确，B错误；
对于C、D项，当时，.故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 下列等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11. 将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意可得，
A，当时，，则不为对称轴，A错误；
B，当时，，则为对称中心，B正确；
C，当时，，则为对称轴，C正确；
D，当时，，则不是对称中心，D错误；
故选：BC
12. 已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（）
A. 是周期为2的周期函数
B. 当时，
C. 的图象与的图象有两个公共点
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项.
【详解】对于A项，由已知可得，
所以，是周期为2的周期函数，故A正确；
对于B项，，则.
由已知可得，.
又，
所以，.
又的周期为2，所以.
，则，，
所以，.故B错误；
对于C项，由A、B可知，当时，；
当时，，且的周期为2.
作出函数以及的图象，
显然，当时，的图象与的图象没有交点.
又，，，
由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确；
对于D项，，则，.
又的周期为2，所以在上单调递增.
当时，，显然在上单调递增.
且，
所以，在上单调递增.
根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使函数有意义，
则应有，解得，
所以，函数的定义域为.
故答案为：.
14. 如图，这是某公园一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为__________．
【答案】352
【解析】
【分析】根据弧长公式，可计算扇形的周长.
【详解】根据弧长公式可知，的长度为，
所以扇形闭合路的总长度为.
故答案为：
15. 若，则的最__________（填“大”或“小”）值是__________．
【答案】 ①. 大 ②.
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，
所以，
而，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：大；.
16. 若函数在上恰好存在6个不同的满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由题意得，再得到的范围，再结合方程有两个不同的根，列不等式即可.
【详解】因为，
则由，得，则，
因为，所以，令，即，
因为恰好存在6个不同的满足，
而从左到右的六个零点为，，，，，，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）求值：．
（2）已知，化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】利用指数幂运算与对数运算即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以
（2）因为，
所以
.
18. 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）判断的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）为奇函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用换元法即可求得函数解析式;
（2）利用奇偶性定义判断函数奇偶性即可.
【小问1详解】
因为，
令，则，
则，
所以.
【小问2详解】
为奇函数，理由如下：
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象的最值可求得,根据周期可求得，继而利用图象上点求出的值；
（2）求得函数的解析式后，整体代换，令，解出即可，
【小问1详解】
因为，
由图象可知，,
,
所以，
此时，
又图象过点，
所以，
故，又，
所以，
故，，.
【小问2详解】
由知，，
令
得
所以函数的单调递增区间为.
20. 已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）2（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；
（2）利用齐次式化简求值；
（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.
【小问1详解】
，
，
则，故在上的最大值为；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
由（1）当则，
，
故.
21. 已知函数．
（1）若的值域为，求的取值范围；
（2）设对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解；
（2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解.
【小问1详解】
解：令，
当时，，满足的值域为，
当时，的值域包含，
则，解得，
综上：实数的取值范围是；
【小问2详解】
因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即，对恒成立，
令，，
则，所以，
所以的取值范围是.
22. 已知函数．
（1）试问在和这两个区间内是否都有零点？说明你的理由．
（2）若方程只有两个不同的实数解，比较与的大小．
【答案】（1）在和这两个区间内都有零点，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用零点存在定理进行判断即可得解；
（2）利用换元法，结合对数的运算得到是方程的两个实数解，再利用奇函数的对称性推得，从而利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
在和这两个区间内都有零点，理由如下：
因为，
所以，，
，，
则，，
所以和这两个区间内都有零点.
【小问2详解】
因为，
则由，得，即
令，则，即，
两边取对数，得，则，
因为是方程的两个不同的实数解，
所以是方程的两个实数解，
则是与的图象的两个交点的横坐标，
对于，有，解得或，则其定义域为，
又，
所以是上的奇函数，
易知是上的奇函数，
所以与的图象的两个交点关于原点对称，
则，故，即，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以.