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四川省成都市2023_2024学年高一数学上学期12月月考试题含解析
展开这是一份四川省成都市2023_2024学年高一数学上学期12月月考试题含解析,共16页。试卷主要包含了本试卷分为第I卷两部分,考试结束后,将答题卡交回, 设函数, 已知,则的大小关系为, 已知实数,则下列说法正确的有, 下列说法正确的有等内容,欢迎下载使用。
2.本堂考试120分钟,满分150分;
3.答题前,考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上,并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后,将答题卡交回.
第I卷选择题部分,共60分
一、单选题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合集合的并集运算即可.
【详解】结合题意:,
故选:C.
2. “”是“”的( )条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次方程,再根据充分必要条件的推理得出结果.
【详解】根据题意,显然当,可得成立,所以充分性满足;
当时,可得或,所以必要性不满足;
即“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3. 函数的零点所在区间是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的单调性,结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均为上的增函数,故函数为上的增函数,
因为,,
由零点存在定理可知,函数的零点所在区间是.
故选:B.
4. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如图,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.
【详解】根据图像,当时,的解为,
因为函数为奇函数,
所以当时,若,即,则
所以,解得,
综合得不等式的解集是.
故选:C.
5. 设函数(且),若,则()
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为(且),所以,
所以,解得或(舍去).
故选:A
6. 已知,则的大小关系为()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简,通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.
【详解】解:由题意,
,
在中,函数单调递增,且,
∴,
在中,函数单调递增,且当时,,
∴,
∴,
故选:A.
7. 在我们的日常生活中,经常会发现一个有趣的现象:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律,也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”,意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是(,,,)的概率为.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为()
(参考数据:,)
A. 2.9B. 3.2C. 3.8D. 3.9
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.
【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为,一个数的首位数字是的概率为,
所求的比为
.
故选:C
8. 已知函数定义域为,且图象关于对称,当时,单调递减,则关于的不等式的解集是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知函数为偶函数,根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值,根据函数的单调性、偶函数的性质,结合可得出关于实数的不等式组,由此可解得的取值范围.
【详解】因为函数的图象关于对称,
令,则,即,
即,所以,,
故函数是定义在上的偶函数,则,解得,
所以,函数是定义在上的偶函数,
由题意可知,函数在上单调递减,
由可得,
所以,,解得.
因此,不等式的解集为.
故选:A.
二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知实数,则下列说法正确的有()
A. 若,则B. 若,,则
C. 若,则D. 若,则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A:因为,所以,故A 正确;
选项B:因为,,
所以,故B正确;
选项C:因为,
所以,所以,故C正确;
选项D:,取,
故D错误;
故选:ABC.
10. 下列说法正确的有()
A. 命题“,”的否定为“,”
B. 若,,则
C. 若幂函数在区间上是减函数,则或
D. 方程有一个正实根,一个负实根,则.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A;举反例可判定B;根据幂函数定义和性质可判定C;根据一元二次方程的性质可判定D.
【详解】对于A选项,根据全称量词命题的否定的知识可知,命题“,”的否定为“,”,A选项正确;
对于B选项,若,,如,,,,则,B选项错误;
对于C选项,函数是幂函数,所以,解得,所以C选项错误;
对于D选项,设,则有两个零点,且两个零点一正一负,则,所以D选项正确
故选:AD.
11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件:①,;②,,当时,;③.则下列选项成立的是()
A. B. 若,则
C. 若,则D. ,,使得
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性,再逐一分析各选项的条件,计算判断作答.
【详解】由,得:函数是上的偶函数,
由,,得:在上单调递增,
对于A,根据函数在上单调递增,可得,故A错误;
对于B,根据函数是上的偶函数,且在上单调递增,在上单调递减,
则,又函数的图象是连续不断的,
则有,解得,故B正确;
对于C,由,则或,
又,
解得或,即,故C错误;
对于D,因上的偶函数的图象连续不断,且在上单调递增,
因此,,,取实数,使得,则,,故D正确.
故选:BD.
12. 直线与函数的图象相交于四个不同的点,若从小到大交点横坐标依次记为,,,,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出函数的图象,利用数形结合思想,结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.
【详解】函数的图象如下图所示:
当时,,此时或;
当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,
此时或,或,
直线与函数有四个不同的点,必有,
此时,其中,
且,
因此有,,显然,
因此,所以选项A不正确,选项B、C正确;
因为,,
结合图象知:,因此选项D正确,
故选:BCD
【点睛】关键点睛:利用数形结合思想,得到,,,的取值范围是解题的关键.
第II卷非选择题部分,共90分
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若函数(且),则函数恒过定点_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.
【详解】由于,
所以函数恒过定点.
故选:
14. 函数的递减区间为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间,且要满足,从而求出答案.
【详解】因为在上单调递减,
由复合函数的单调性可知,的递减区间为的单调递增区间,
且要满足,解得或,
其中在上单调递增,
故的递减区间为.
故答案为:
15. 如果关于的不等式的解集为,其中常数,则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.
【详解】不等式的解集为,其中常数,
所以是方程的实数根,
时,,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
故的最小值是
故答案为:
16. 定义在上的函数满足,且当时,,,对,使得,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出在上的值域,利用得到在上的值域,再求出在上的值域,根据题意得到两值域的包含关系,从而求出a的取值范围.
【详解】当时,,
由于为对称轴为开口向下的二次函数,
,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递增,
可得在上单调递减,在上单调递增,,
在上的值域为,在上的值域为,
在上的值域为,
,
故当,
在上的值域为,
当时,为增函数,在上的值域为,
,解得,故的范围是;
当时,为单调递减函数,在上的值域为,
,解得故的范围是,
综上可知故的范围是.
四、解答题:本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)代入,求解集合,,按照交集定义直接求解即可;(2)求解集合,由并集为全集得出集合的范围,从而求出的范围.
【小问1详解】
解:由得或.
所以.
当时,.
所以.
【小问2详解】
由题意知].又,
因为,
所以.
所以.
所以实数的取值范围是.
18. 计算
(1)
(2)已知求
【答案】(1)10+
(2)
【解析】
【分析】(1)直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值;
(2)先求出,再求出即得解.
【小问1详解】
解:原式===10+.
【小问2详解】
解:.
.
又.
.
19. 已知函数.
(1)求的定义域;
(2)判断的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)奇函数,证明见解析
(3)
【解析】
【分析】(1)根据对数函数的性质进行求解即可;
(2)根据函数奇偶性的定义进行判断和证明;
(3)根据对数函数的单调性进行求解.
【小问1详解】
要使函数有意义,则,
解得,故所求函数的定义域为;
【小问2详解】
证明:由(1)知的定义域为,
设,则,
且,故为奇函数;
【小问3详解】
因为,所以,即
可得,解得,又,
所以,
所以不等式的解集是.
20. 科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果,染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1秒后染料扩散的体积是,2秒后染料扩散的体积是,染料扩散的体积y与时间x(单位:秒)的关系有两种函数模型可供选择:①,②,其中m,b均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)若染料扩散的体积达到,至少需要多少秒.
【答案】(1)选,
(2)至少需4秒
【解析】
【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型,代入数据即可求出模型的解析式;
(2)根据题干条件,列出不等式,解之即可求解.
【小问1详解】
因为函数中,随的增长而增长,且增长的速度也越来越快,二函数中,随的增长而增长,且增长的速度也越来越慢,
根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即,
由题意可得:,解得:,
所以该模型的解析式为:,
【小问2详解】
由(1)知:,
由题意知:,也即,则有,
∴,∴,
∴至少需要4秒.
21. 已知函数的定义域为,且对一切都有,当时,有;
(1)求的值;
(2)判断的单调性并证明;
(3)若,解不等式;
【答案】(1)f(1)=0;(2)在(0,+∞)上是增函数,证明见详解;(3)
【解析】
【分析】(1)利用赋值法即可求的值;
(2)任取∈(0,+∞),且,利用条件可得,进而可得单调性;
(3)结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论.
【详解】解:令x=y>0,则f(1)=f(x)−f(x)=0,
所以f(1)=0;
(2)任取∈(0,+∞),且,
则,
因为,所以,则,
所以
即,
所以在(0,+∞)上是增函数;
(3)因为,所以,
所以,
由,得,
所以,解得
所以原不等式的解为.
【点睛】本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解决抽象函数的关键,是中档题.
22. 已知函数的图象过点,.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在区间上有零点,求整数k的值;
(3)设,若对于任意,都有,求m的取值范围.
【答案】(1);(2)的取值为2或3;(3).
【解析】
【分析】
(1)根据题意,得到,求得的值,即可求解;
(2)由(1)可得,得到,设,根据题意转化为函数在上有零点,列出不等式组,即可求解;
(3)求得的最大值,得出,得到,设,结合单调性和最值,即可求解.
【详解】(1)函数的图像过点,所以,解得,
所以函数的解析式为.
(2)由(1)可知,,
令,得,
设,则函数在区间上有零点,
等价于函数在上有零点,所以,解得,
因为,所以的取值为2或3.
(3)因为且,所以且,
因为,
所以的最大值可能是或,
因为
所以,
只需,即,
设,上单调递增,
又,∴,即,所以,
所以m的取值范围是.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法:
1、分离参数法:一般命题的情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从中分离出参数,构造新的函数,求得新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,从而确定参数的取值范围;