2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01数列求通项(数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法)练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01数列求通项(数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法)练习(学生版+解析)，共30页。

\l "_Tc30721" 二、典型题型 PAGEREF _Tc30721 \h 2
\l "_Tc30421" 题型一：法：角度1：用，得到 PAGEREF _Tc30421 \h 2
\l "_Tc16810" 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 PAGEREF _Tc16810 \h 3
\l "_Tc9901" 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： PAGEREF _Tc9901 \h 4
\l "_Tc5332" 题型四：法：角度1：已知和的关系 PAGEREF _Tc5332 \h 5
\l "_Tc27067" 题型五：法：角度2：已知和的关系 PAGEREF _Tc27067 \h 7
\l "_Tc26654" 三、数列求通项（法、法）专项训练 PAGEREF _Tc26654 \h 8
一、必备秘籍
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
二、典型题型
题型一：法：角度1：用，得到
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且为等差数列．
(1)证明：为等差数列；
2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
4．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
题型二：法：角度2：将题意中的用替换
1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且当时．
(1)求数列的通项公式；
3．（2023·云南昭通·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
4．（2023·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.
(1)求；
题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：
1．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知．
(1)求数列的通项公式；
2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
3．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且．
(1)求；
4．（2024·广西柳州·三模）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
题型四：法：角度1：已知和的关系
1．（2023·全国·模拟预测）已知是等比数列，其前项之积，
(1)求的通项公式，并求的解集；
2．（2023·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
4．（2023·辽宁·三模）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；
5．（2023·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
题型五：法：角度2：已知和的关系
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
2．（23-24高三上·福建宁德·期末）已知为数列的前项积，且.
(1)证明：数列是等差数列；
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）设是数列的前项之积，并满足：.
（1）求；
（2）证明数列等差数列；
三、数列求通项（法、法）专项训练
1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）记为数列的前n项积，已知
(1)证明: 数列是等差数列；
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列，满足．
(1)若是数列的前n项积，求的最大值；
3．（2023·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
7．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
8．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且当时，.
(1)求；
9．（2024·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
10．（2024·云南昆明·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，且；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
11．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
12．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
13．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.
专题01 数列求通项（法、法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17740" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc17740 \h 1
\l "_Tc30721" 二、典型题型 PAGEREF _Tc30721 \h 2
\l "_Tc30421" 题型一：法：角度1：用，得到 PAGEREF _Tc30421 \h 2
\l "_Tc16810" 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 PAGEREF _Tc16810 \h 4
\l "_Tc9901" 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： PAGEREF _Tc9901 \h 6
\l "_Tc5332" 题型四：法：角度1：已知和的关系 PAGEREF _Tc5332 \h 8
\l "_Tc27067" 题型五：法：角度2：已知和的关系 PAGEREF _Tc27067 \h 12
\l "_Tc26654" 三、数列求通项（法、法）专项训练 PAGEREF _Tc26654 \h 13
一、必备秘籍
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
二、典型题型
题型一：法：角度1：用，得到
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且为等差数列．
(1)证明：为等差数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）因为为等差数列，可设出的通项公式，然后由前项和求数列的通项公式，再由等差数列的概念判断数列是等差数列.
【详解】（1）因为为等差数列，设其公差为，所以，
又因为，所以．
当时，，
又因为适合上式，所以．
所以，所以为等差数列．
2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）已知与的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对时进行检验，得到数列是等差数列，从而写出通项公式；
【详解】（1）由题意知：，即，
当时，，
两式相减，可得，
因为，可得．
又因为，当时，，即，
解得或（舍去），所以（符合），
从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列．
所以数列的通项公式为．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意结合与之间的关系可得，利用等差中项可得数列为等差数列，进而求；
【详解】（1）因为，即，则，
两式相减并整理得，则，
两式相减整理得，
所以数列为等差数列．
当时，，所以．
设等差数列的公差为，
因为，解得，
所以．
4．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由与的关系，求数列的通项公式；
【详解】（1）数列的前n项和为，
时，，
时，，
不符合，
所以.
题型二：法：角度2：将题意中的用替换
1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，两边同时除以（），得，从而得证；
【详解】（1）因为，所以，则，
因为，易知，所以，
又，所以数列是首项与公差都为2的等差数列；
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且当时．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由时，，及条件可得，再由累加法可求出，再由求出.
【详解】（1）因为时，
数列为正项数列，所以．
由累加法得，
又，所以，即，
故当时，，
因此．
3．（2023·云南昭通·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.
【详解】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，
所以.
4．（2023·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.
(1)求；
【答案】(1)
【分析】（1）利用化简式子得到，利用累加法即可求解；
【详解】（1）因为，显然，
所以，即，
所以
，
所以，又当时，也满足，所以.
题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：
1．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据数列的前项和求数列的通项公式，一定要分和讨论.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以，.
当时，上式亦成立，
所以：.
2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由已知求得数列首项，再根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；
【详解】（1）当时，由，得，
当时，，
则，
也适合该式，故；
3．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且．
(1)求；
【答案】(1)，
【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，
【详解】（1），
又，，解得：
因为是等比数列，所以的公比，
又当时，，
作差得：
将代入，化简：，
得：
是公差的等差数列，
4．（2024·广西柳州·三模）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据的关系，作差即可求解，
【详解】（1）当时，由，得
当时，
两式相减，得
当时，
综上可知，
5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）作差法，计算得到，验证是否成立，进而得到数列的通项公式；
【详解】（1）因为，①
当时，，②
①②得，
即．
当时，也符合上式，
所以．
题型四：法：角度1：已知和的关系
1．（2023·全国·模拟预测）已知是等比数列，其前项之积，
(1)求的通项公式，并求的解集；
【答案】(1)，，
【分析】（1）分和两种情况，结合题意分析求的通项公式，代入运算求解即可；
【详解】（1）当时，；
当时，．
当时，也符合上式，综上，，．
令，即，整理得，解得或4，
所以的解集为．
2．（2023·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
【答案】(1),
【分析】（1）对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;
【详解】（1）当时,,
∴,
当时,,
化简得,
∵,∴,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
当时,，当时也满足，
所以.
3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.
【详解】（1）由题知，是等比数列，
设其公比为，
由，
可得：当时，，
两式相减得，，
故数列是等差数列.
（2）由知：
当时，，
又，所以，
由（1）设的公差为，
则，
由，
则，，
所以
.
即数列的前20项和为.
4．（2023·辽宁·三模）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）当时，，即可求出答案；
【详解】（1），
当时，.
当时，，满足上式，
.
5．（2023·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
【答案】(1)，
【分析】（1）根据，，即可得出答案；
【详解】（1）解：（1）由，
当时，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
题型五：法：角度2：已知和的关系
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证；
【详解】（1）因为，
当时，，即，易知，则，
当时，，所以，即，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
2．（23-24高三上·福建宁德·期末）已知为数列的前项积，且.
(1)证明：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用将条件整理变形可得，即可证明数列是等差数列；
【详解】（1）为数列的前项积，
当时，，
，等式两边同时乘以可得，
即，
又当时，，得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）设是数列的前项之积，并满足：.
（1）求；
（2）证明数列等差数列；
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）证明见解析
【分析】（1）由题意结合递推关系可得，；
（2）根据题意利用等差数列的定义证明即可
【详解】（1）由，且，得，
当时，，即，，得，
当时，，即，，得
（2）证明：因为，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以
因为
所以数列是以2为首项，公差为1的等差数列
三、数列求通项（法、法）专项训练
1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）记为数列的前n项积，已知
(1)证明: 数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件先确定，得出为等差数列，进而求出通项公式，进而求出，由定义法即可判断数列是等差数列；
【详解】（1）因为，时，有，为数列的前n项积，
所以，代入上式有；又由，有，
所以，即，，
所以，所以为首项为，公差为的等差数列，
所以，，代入，
解得：，，
所以数列是等差数列.
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列，满足．
(1)若是数列的前n项积，求的最大值；
【答案】(1)
【分析】（1）先根据前n项和与通项的关系求出的通项公式，表示出，结合二次函数的性质，即可得出答案；
【详解】（1）当时，．
当时，
，解得①．
因为满足①式，
所以，
则，所以为等比数列，公比为，
所以．
又因为当或时，取最大值55，
所以的最大值为．
3．（2023·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.
【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
4．（22-23高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令中的，可得答案；
（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；
（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.
【详解】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
5．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）为数列的前n项积，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与的关系，把已知式中换成的关系式，然后可配出等比数列的比值；
（2）由（1）求得后，代入已知可得或由与的关系求解．
【详解】（1）证明： 由已知条件知 ①,
于是． ②,
由①②得． ③ ，
又 ④，
由③④得，所以 ，
令，由，得，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列．
，
法1：时，，
又符合上式，所以；
法2：将代回得：．
6．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
【答案】(1)，，
【分析】（1）利用求，利用求，注意的求法；
【详解】（1）前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
7．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解，
【详解】（1）时，，即.
又，也符合，
所以时，，即.
又，所以，
所以，所以数列成等比数列.
8．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且当时，.
(1)求；
【答案】(1)
【分析】（1）由代入已知等式化简得，再由累加法求通项即可；
【详解】（1）由，，得，
当时，，故，
即，
所以，，，，…，，
将各等式左、右两边分别相加得，
.
，符合上式，
所以.
9．（2024·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据求解即可；
【详解】（1）由，①
当时，，所以，
当时，，②
由①②得，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，所以，检验时也满足，
所以.
11．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意得，再因式分解为，即可得到，根据等差数列的定义，可知为等差数列，易得其通项公式；
【详解】（1）因为，
所以当时，，
所以，
整理，得，
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
当时，，
解得，
所以数列的通项公式为；
12．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意，当时，用替换，然后代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）当时，．
当时，由，得，
则，则，
因为也符合上式，所以．
13．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）根据给定条件，利用求解即得.
【详解】（1），，
当时，，
两式相减得，即，而满足上式，
所以数列的通项公式为.
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.