第26讲 等比数列及其前n项和（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

这是一份第26讲 等比数列及其前n项和（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用），共12页。试卷主要包含了 命题规律及备考策略，理解、掌握等比数列的概念等内容，欢迎下载使用。

5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握等比数列的概念
2.能掌握等比数的通项公式与前n项和公式
3.具备类比的思想，会借助函数的图像与特征求解数列的最值与单调性问题
4.会解等比数的通项公式与前n项和问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列的递推关系式，求解数列的通项公式与前n项和公式。
知识讲解
知识点一．等比数列有关的概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
知识点二．等比数列的通项公式及前n项和公式
1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
2.等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
3.等比数列的前n项和公式： Sn=na1,(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1)
4.①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解．
②已知a1,q(q≠1),n（项数），则利用Sn=a1(1-qn)1-q求解；已知a1,an,q(q≠1)，则利用Sn=a1-anq1-q求解．
③Sn=a1(1-qn)1-q=-a11-qqn+a11-q=kqn-k(k≠0,q≠1)，Sn为关于qn的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
知识点三．等比数列的常用性质
1. 等比中项的推广．
若m+n=p+q时，则aman=apaq，特别地，当m+n=2p时，aman=ap2．
2.ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}{panqbn}也是等比数列(b，p，q≠0)．
4.若a1>0q>1或a10)，乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg2=0.3,lg3=0.48）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
考点七、等比数列综合应用
1.（2024·山西太原·二模）已知an，bn分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是Sn和Tn，且a1=b1=1，a2+b2=4，T3=3，则S3=（ ）
A．9B．9或18C．13D．13或37
2.（2024·湖北·模拟预测）已知数列an为等差数列，bn为等比数列，a4=b4=3，则（ ）
A．b1b7≥a1a7B．b1+b7≥a1+a7
C．b1b7≤a1a7D．b1+b7≤a1+a7
1.（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1,a3,a7成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=ancsπan2，求数列bn的前2024项和．
2.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足2nan是等差数列，ann是等比数列.
(1)证明：a1=a2；
(2)记an的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*,Sn∈1,6，求a1的取值范围.
3.（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，当n=4和5时，Sn取得最大值．
(1)求Sn；
(2)若bn为等比数列，b1=S45,b2=-a6，求bn通项公式．
4.（2024·四川内江·三模）已知等差数列an的公差为4，且a2+2，a3，a5-2成等比数列，数列bn的前n项和为Sn，b1=2且Sn=2Sn-1+2n≥2.
(1)求数列an、bn的通项公式；
(2)设cn=anbnn∈N*，求数列cn的前n项和Tn.
考点八、集合中元素的特性
1.（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列an中，a1a2a3=8,a5a7=64，数列bn满足bn=lg2an，则使得不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋅⋅⋅+1bnbn+1≥20242025成立的n的最小值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
2.（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正项等比数列an中，a1=4，a3=1，则满足a1a2+a2a3+⋯+anan+1≤212成立的最大正整数n的值为 .
1.（24-25高三上·云南·阶段练习）已知在数列an中，a1=2，且对任意的m，n∈N+，都有am+n=aman，设fx=a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn，记函数fx在x=1处的导数为f'1，则使得f'1>2025成立的n的最小值为 ．
2.（2024·河北·一模）已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且b1-a1=1，b2-a2=1，b3-a4=1，则bn= ；若数列an和bn的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列cn，数列cn的前n项和为Sn，则使得Sncn+1>12成立的n的最小值为 ．
3.（2024高三·江苏·专题练习）已知正项数列an满足a1=1；且对任意的正整数n都有Sn=t22an2+an-1成立，其中Sn是数列an的前n项和，t为常数.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若cn=an2n，证明：数列cn的前n项和Tnb5的概率为（ ）
A．14B．13C．23D．34
2.（23-24高三下·湖北·开学考试）已知数列an是等比数列，则“存在正整数k，对于∀t∈N*，at>at+k恒成立”是：“an为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
1.（2024高三·全国·专题练习）在等比数列an中，公比为q，已知a1=1，则00且0