第13讲函数的极值（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

这是一份第13讲函数的极值（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用），共11页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略，掌握函数图像与极值的关系等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题
2.能掌握函数极值与图像的关系
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题
4.掌握函数图像与极值的关系
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等。
知识讲解
知识点一.函数的极值
函数极值的定义：
如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)0(0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值．
注意 对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
知识点二.三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x10
(2)a0是（ ）
A．偶函数，且没有极值点B．偶函数，且有一个极值点
C．奇函数，且没有极值点D．奇函数，且有一个极值点
2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数fx=-2csωx+π6+1ω>0相邻极值点的距离为π2，则ω为（ ）
A．3B．4C．1D．2
1.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A．fx=xsinxB．fx=x+1x
C．fx=ex+1exD．fx=x+1-x-1
2．（2024·江西·模拟预测）已知函数fx=sinωx+3csωxω>0在区间0,π上恰有两个极值点x1,x2，则fx1+x2的值为（ ）
A．1B．3C．-3D．2
3．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）“x0是函数fx的一个极值点”是“fx在x0处导数为0”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点二、求不含参函数的极值
1.（2017·全国·高考真题）若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为．
A．-1B．-2e-3C．5e-3D．1
2.（2024·全国·高考真题）已知函数fx=1-axln1+x-x．
(1)当a=-2时，求fx的极值；
(2)当x≥0时，fx≥0，求a的取值范围．
1.（2024·甘肃张掖·三模）已知函数fx=aex-2x-lnx-1x图象在x=2处的切线斜率为14.
(1)求a；
(2)求函数fx的单调区间和极大值.
2.（2024·江苏·三模）已知函数fx=ax-2sinx,x∈0,π.
(1)若a=1，求fx的极小值；
(2)若fx是单调函数，求a的取值范围.
3.（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数fx=ax2-bx+lnx,a,b∈R.
(1)若a=1,b=3，求函数fx的单调区间及极值；
(2)若b=0时，不等式fx≤0在1,+∞上恒成立，求参数a的取值范围.
4.（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=4x3-3x2-18x+27,x∈R.
(1)求fx的单调区间与极值；
(2)求fx在区间0,3上的最大值与最小值.
5.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数fx=lnx+x2-kx+1在点2,f2处的切线l与直线3x-2y=0平行．
(1)求k的值及切线l的方程；
(2)求fx的单调区间和极值．
考点三、求含参函数的极值
1.（2024·辽宁·模拟预测）已知函数fx=ax-1ex+1+3a≠0．
(1)求fx的极值；
(2)设a=1，若关于x的不等式fx≤b-1ex+1-x在区间-1,+∞内有解，求b的取值范围．
2.（24-25高三上·上海·单元测试）已知fx=-12ax2+x-ln1+x，其中a>0．
(1)若函数fx在x=3处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)求fx的极值点；
(3)若fx在0,+∞上的最大值是0，求a的取值范围．
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=ex-ax+2a∈R,gx=xex+3．
(1)求函数fx的极值；
(2)当x≥0时，fx≤gx恒成立，求证：a≥0．
2.（2024·山东威海·二模）已知函数fx=lnx-ax+1．
(1)求fx的极值；
(2)证明：lnx+x+1≤xex．
3.（20-21高三上·四川宜宾·阶段练习）设函数fx=-13x3+x2+m2-1x,x∈R，其中m>0.
(1)当m=1时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
4.（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数fx=x22-blnx.
(1)当b>0时，求函数的单调区间和极值
(2)若fx在区间1,e2内恰好有两个零点，求b的取值范围.
5.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知fx=ax-lnx,a∈R．
(1)讨论fx的单调性和极值；
(2)若x∈0,e时，fx≤3有解，求a的取值范围．
考点四、由极值求参数
1.（24-25高三下·重庆·阶段练习）若函数fx=ax2+bex在x=1时有极小值-2e，则ab=（ ）
A．-2B．-3C．-eD．-1
2.（2024·重庆·模拟预测）若函数fx=x2-x+alnx有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,18B．0,18C．-∞,18D．-∞,18
1.（2024·重庆·模拟预测）已知f(x)=ex+aln(1-x)
(1)若f(x)在x=0处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)若f(x)存在极值点，求a的取值范围．
2.（2024·辽宁·二模）已知函数f(x)=ax3-12(3a+1)x2+x,a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)的极小值为-23，求实数a的取值集合．
3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数fx=x3+ax2-1在x=-1时取得极值 .
(1)求fx的解析式；
(2)若函数y=fx-λ有一个零点，求实数λ的取值范围.
4.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数fx=13x3-mx+4．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx的极小值为-43，求m的值．
5.（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数fx=ax4+bx3在x=1处有极值-1.
(1)求a,b的值；
(2)若函数gx=fx-mx在-1,1上单调递增，求m的取值范围.
考点五、函数极值（点）与图像
1.（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数fx的导函数f'x的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A．f1>f3B．f-1b，则函数y=ax-a(x-b)2的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
2.（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数fx有最小值
B．函数fx有最大值
C．函数fx有且仅有三个零点
D．函数fx有且仅有两个极值点
3.（24-25高三·上海·随堂练习）定义在R 上的函数fx的导数f'x的大致图象如题图所示，则函数y=fx的单调增区间为 ，y=fx的极大值点为x= ．

1．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列{an}中，a7是函数f(x)=sin(2x-π6)的一个极大值点，则tan(a5+a9)的值为（ ）
A．33B．3C．±3D．-3
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数fx=ex-ax在区间0,2上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,12B．1,e22C．1,e2D．0,2e
3．（2024·河北承德·二模）设a为实数，若函数fx=13x3-ax2+3在x=1处取得极小值，则a=（ ）
A．1B．12C．0D．-1
4．（2024高三·全国·专题练习）设a∈R，若函数fx＝eax＋3x x∈R有小于零的极值点，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,-3B．-3,0C．-13,0D．-∞,-13
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数fx=ax3+bx2+x+c，其导函数y=f'x的图象如图所示，过点13,0和1,0.函数fx的单调递减区间为 ，极大值点为 .
6．（2024·河南·三模）已知函数f(x)=ax-lnx，且f(x)在x=1处的切线方程是x-y+b=0．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
7．（2024·山东潍坊·二模）已知函数fx=x-1ex-ax2+b，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=e-2x+3-e．
(1)求实数a，b的值；
(2)求fx的单调区间和极值．
1．（2024·陕西铜川·三模）若函数fx=ax2+lnxx有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．-1e4,0B．0,16e4C．0,1e4D．-1e4,16e4
2．（2024·陕西宝鸡·三模）若函数f(x)=-12ax2+4x-2lnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0,2)B．0,1C．(-∞,1)D．(2,+∞)
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=x3-x+1，则（ ）
A．f(x)有三个极值点B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
4．（2024·青海西宁·一模）等差数列an中的a2，a2024是函数fx=x3-6x2+4x-2024的极值点，则lg2a1013=（ ）
A．12B．1C．-1D．-12
5．（2023·天津和平·三模）已知函数fx=3sinωxcsωx-12sin2ωx-π2（ω∈R，且ω>0），x∈R，若函数fx在区间0,2π上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为（ ）
A．136,196B．136,196．C．1312,1912D．1312,1912
6．（2024·吉林·模拟预测）已知函数fx=x2-ax-aex.
(1)当a=0时，求函数fx的极值；
(2)求证：当0aa-1.
7．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数f(x)=(x-1)ex-ax(a∈R且a为常数）.
(1)当a=0，求函数f(x)的最小值；
(2)若函数f(x)有2个极值点，求a的取值范围；
1.（2023·北京·高考真题）设函数f(x)=x-x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
(3)求f(x)的极值点个数．
2.（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=ex-ax-a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
3．（天津·高考真题）函数fx的定义域为开区间a,b，导函数f'x在a,b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a,b内有极小值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022·全国·高考真题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x10),x∈R
（1）求f(x)的单调区间和极值；
（2）若对于任意的x1∈(2,+∞)，都存在x2∈(1,+∞)，使得f(x1)⋅f(x2)=1，求a的取值范围
7．（2023·全国·高考真题）已知函数f(x)=1x+aln(1+x).
(1)当a=-1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若fx在0,+∞存在极值，求a的取值范围.
8．（2021·全国·高考真题）设函数fx=lna-x，已知x=0是函数y=xfx的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:gx0
Δ≤0
图象
单调性
在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减
在R上是增函数
极值点个数
2
0
Δ>0
Δ≤0
图象
单调性
在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减
在R上是减函数
极值点个数
2
0