2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点13导数与函数的极值、最值(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点13导数与函数的极值、最值(精练)(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．(－∞，0]∪[1，＋∞)C．[0，2]D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．已知是函数就函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．-2B．6C．17D．18
4．函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为D．极大值为5，极小值为
5．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．设函数f(x)＝ln x＋在内有极值，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
8．设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，B．当或时，
C．当或时，D．函数f（x）在处取得极小值
9．对于函数，以下判断正确的是（ ）
A．无极大值无极小值B．在是增函数
C．有两个不同的零点D．其图象在点处的切线的斜率为0
10．若函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在区间内有3个极值点D．的图象在点处的切线的斜率小于0
12．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
13．函数在上的最大值为（ ）
A．B．C．2D．5
14．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．7
16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
17．已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
18．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
20．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
23．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
26．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（ ）
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
27．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
28．对于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数单调递减区间为，单调递增区为
C．函数最小值为为，最大值
D．函数存在两个零点1和
29．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
30．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
31．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1）B．
C．D．
三、填空题
32．函数的极大值点为_________.
33．已知函数在x＝1处取得极值，则a＝_________．
34．若，不等式恒成立，则的最大值为________.
35．已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
36．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是______．
37．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
38．已知.
(1)当时，求；
(2)当，求的极值.
39．已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
40．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程：
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间．
41．已知函数.
(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；
(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.
42．已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）设，若恒成立，求a的取值范围．
43．函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点且函数的极小值小于，求实数的范围．
第13练 导数与函数的极值、最值
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．(－∞，0]∪[1，＋∞)C．[0，2]D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
【解析】由得，
根据题意得，解得．
故选：C
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故选：C
3．已知是函数就函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．-2B．6C．17D．18
【解析】函数的导数，
由题意得，，即，．
，，
令，得或；，得，
所以当时取极大值，即．
故选：D．
4．函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为D．极大值为5，极小值为
【解析】,
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值，无极小值.
故选：A
5．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，故①错误；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，
在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选：C．
6．设函数f(x)＝ln x＋在内有极值，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，
因为函数f(x)＝ln x＋在内有极值，
所以在内有解，
即在内有解，
，
设，
当时，单调递减，所以，
要想方程在时有解，只需，
故选：A
7．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
8．设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，B．当或时，
C．当或时，D．函数f（x）在处取得极小值
【解析】A.由图象知：当时，函数f（x）递增，所以，故正确；
B.由图象知：当或时，函数f（x）递增，所以，故正确；
C.由图象知：当或时，函数f（x）分别取得极小值和极大值，故正确；
D.由图象知：函数f（x）在处取得极大值，故错误；
故选：D
9．对于函数，以下判断正确的是（ ）
A．无极大值无极小值B．在是增函数
C．有两个不同的零点D．其图象在点处的切线的斜率为0
【解析】函数定义域为，
，令，则，故D错误；
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，故B正确；
当时，函数取得极大值，极大值为（），故A错误，
作出函数的图象，可知C错误.
故选：B
10．若函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意得，
因为函数存在极值点，所以其导函数有变号零点，
所以，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在区间内有3个极值点D．的图象在点处的切线的斜率小于0
【解析】由图象可知：当和时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减；
对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误；
对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误.
故选：B.
12．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数，
所以，
所以，，
解得a=6,b=9，
=-3，
故选：B
13．函数在上的最大值为（ ）
A．B．C．2D．5
【解析】由题意得，
令，则 ，
当时， ，函数递减；当时， ，函数递增，
故 是函数在的极小值点，
所以当时， ；当时， ；
当时， ；
故函数在上的最大值为5，
故选：D
14．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设切点为，，
曲线在切点处的切线方程为，
整理得，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
则的取值范围是．
故选：C.
15．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．7
【解析】对求导得：，因函数的一个极值点为2，
则，
此时，，，
因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，
于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.
故选：B
16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
17．已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以.
故选：C．
18．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
19．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】设，，，，则，
，
，
令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数的最小值为1，
故选：B
20．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，即在区间上有两个异号零点，
构造函数，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，且，
所以，即，
所以的范围．
故选：D．
21．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，即，令，当时，，，令得：或，结合，所以，令得：，结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，当时，，且，
当时，，则恒成立，单调递增，且当时，，当时，，
画出的图象，如下图：
要想有3个零点，则
故选：B
22．已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【解析】∵，∴不等式即为：
由且，∴，设，则，故在上是增函数，∴，即，
即存在，使，∴，设，则；
；∴在上递减，在上递增，∴，∴．
故选：D.
23．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，不等式在上恒成立不会成立，
故 ，
当 时， ，此时不等式恒成立；
不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
而即，
设 ，当 时，，
故是增函数，
则即，故，
设，
当 时，， 递增，
当 时，， 递减，
故 ，则 ，
综合以上，实数的取值范围是 ，
故选：B
24．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】等价于．
令函数，则，故是增函数．
等价于，即．
令函数，则．
当时，，单调递增：当时，，单调递减．
.
故实数a的取值范围为．
故选：C.
25．已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
作出的图象，函数与三个不等实根，且，
那么，可得，，
所以，
构造新函数
当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
∴当时，取得最小值为，即的最小值为；
故选：A
二、多选题
26．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（ ）
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
【解析】设的根为，且，则
由图可知，函数在内单调增，在内单调减，在内单调增，在
内单调减；
函数在区间内有极小值，当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错，B正确；
函数在区间内有极大值、，所以C正确；
当，，时，函数在内没有零点，所以D正确.
故选：BCD.
27．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
【解析】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，
对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，
对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，
对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，
故选：BC
28．对于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数单调递减区间为，单调递增区为
C．函数最小值为为，最大值
D．函数存在两个零点1和
【解析】的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，，
令，解得，
当时，，则为单调递增函数，
当时，，则为单调递减函数，
因为为奇函数，图象关于原点对称，
所以在上单调递减，在是单调递增，
所以的极小值为，极大值为，故A正确；
的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；
在无最值，故C错误；
令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.
故选：AD
29．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
30．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
【解析】设，则，
所以在上递增，又，又，
则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误；
有，即，
所以当时，，当时，，
所以，又，则，故B正确；
易知与关于对称，
且与切于，与切于，
所以|PQ|的最小值为，故C正确；
若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则，
即对恒成立，即
令，则在上递增，
则，，所以
令，则，
当时，，当时，，
所以，所以，故D正确；
故选：BCD.
31．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1）B．
C．D．
【解析】由题设，且定义域为，则，
当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；
当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，
当时，，所以至多有一个零点；
当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，
综上，，在内各有一个零点，且，
B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，
令，
，
又，所以单调递减，
故当时，，
又，所以，
而，因此，故正确；
C：，
令，显然有，令，显然，
因此有：，
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
令，即，
因为，所以单调递增，
因为，所以，
而，所以，
因为，所以，
当时，单调递减，因此有，即，正确；
D：由，则，故，正确.
故选：BCD
三、填空题
32．函数的极大值点为_________.
【解析】
的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在单调递增，在单调递减，
故为的极大值点，
故答案为：．
33．已知函数在x＝1处取得极值，则a＝_________．
【解析】由，得，
因为函数在x＝1处取得极值，
所以，即，得，
所以，
当时，，当时，，
所以为函数的极小值点，
所以，
故答案为：2
34．若，不等式恒成立，则的最大值为________.
【解析】设，则，因为，
所以当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增；
所以，
则，令，则；
由可得，；
所以当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
所以，即的最大值为.
故答案为：
35．已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
【解析】设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，
故答案为：
36．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是______．
【解析】，
∵在区间上有且只有一个极值点，
∴在上有且只有一个变号零点，
∴，解得．
∴a的取值范围是.
故答案为：
37．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【解析】∵关于的不等式恒成立，且
∴恒成立，设，则，
令，，
可得在单调递增，且，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增.
可得在处取得极小值，且为最小值1，
则，故答案为.
四、解答题
38．已知.
(1)当时，求；
(2)当，求的极值.
【解析】(1)，
当a＝2时，；
(2)时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴f(x)有极大值，有极小值﹒
39．已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
【解析】(1)，
∵是的一个极值点，∴
解得．经检验，满足题意．
(2)由（1）知：，则．
令，解得或
∵，
∴函数的最大值为
40．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程：
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间．
【解析】（1），∴，
，
∴，
∴切线方程为，即．
（2），由题意得，
即，，
∴．
因为的定义域为，所以有：
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是，．
41．已知函数.
(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；
(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.
【解析】(1)
因为在处取得极值
所以，得
则时，，在区间上单调递增，
所以
所以在区间上的值域为
(2)的定义域为
函数有一个零点有一个实数根与有一个交点.
当时，由图可知满足题意；
当时，在上无零点；
当时，令，得
令，得
所以，当时，有最大值
因为函数有一个零点，
所以，解得
综上，a的取值范围为.
42．已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）设，若恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，且，
（ⅰ）当时，，则在上单调递增；
（ⅱ）当时，令得到，
当时，单调递增，当时，单调递减；
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由，令，则，故，
证明：时符合题意，
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则．
令，则，
令，可得；令，可得，
于是在上递减，在上递增，于是，
可得当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，故，
综上可知，实数a的取值范围．
43．函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点且函数的极小值小于，求实数的范围．
【解析】（1）当时，，，
∴，又
∴在处的切线方程为：
（2）定义域为
由，，，要使有两个极值点，
则且，
或
当时，有，
由，或
此时在上递增，在上递减，在上递增
∴的极小值为
当时，有，由，
或
此时在上递增，在上递减，在上递增
∴的极小值为
，
∵，∴该不等式显然无解
综合：．
x
1
2
+
0
-
0
+
递增
递减
递增
1
+
0
0
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗