青海省西宁市大通回族土族自治县第一完全中学2024届高三上学期10月第二次月考 数学（理科）试题（含解析）

这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县第一完全中学2024届高三上学期10月第二次月考 数学（理科）试题（含解析），共13页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知，则，已知函数,给出下列两个命题，函数的部分图象是等内容，欢迎下载使用。
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则M∩N中的元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知函数，则它的导函数（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数在区间上的最小值是（ ）
A．B．0C．D．
6．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数,给出下列两个命题:命题若,则;命题,.则下列叙述错误的是
A．p是假命题B．p的否命题是:若,则
C．,D．是真命题
9．已知，则（ ）
A．kB．C．D．
10．函数的部分图象是
A．B．
C．D．
11．设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为
A．B．C．D．
12．设动直线与函数，的图象分别交于点，已知，则的最小值与最大值之积为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若幂函数的图象经过点，则 ．
14．已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为 ．
15．若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
16．函数的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．设函数的定义域为集合，集合，
（1）若，求；
（2）若，求.
18．已知是奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求的值
19．设函数，为第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求的值．
20．已知都是锐角，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知函数的 图像在点处的切线方程为.
(1)求的值
(2)求函数在值域.
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式恒成立，证明：且.
1．C
【详解】 ，因此M∩N中的元素个数为2，选C.
2．B
【分析】利用求导公式即可得出结论.
【详解】根据初等函数的求导公式，.
故选：B.
3．A
【解析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：.
所以函数的定义域为.
故选：A
4．B
【分析】解出对数不等式，根据必要不充分条件的判断即可.
【详解】若，则，则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．B
【分析】根据函数的单调性计算可得.
【详解】因为，所以在上单调递增，
所以.
故选：B
6．A
【分析】直接求出的值进行比较即可.
【详解】由题意知；
；
；因为，
所以：.
故选：A.
7．B
【分析】根据题意，由条件可得，再由正切的二倍角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，
所以.
故选：B
8．D
【分析】分析函数为增函数，若，求出时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案.
【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ,
且导函数，
则函数单调递增，
结合，
可得当时，函数的值域为.
据此可知是假命题， 是真命题， 是假命题.
结合全称命题与特称命题的关系可得：
的否命题是：若,则.
，
故选：D
【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.
9．C
【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系得到答案.
【详解】.
故选：C
10．C
【详解】函数是偶函数，排除AD;且
当 排除B,选C.
点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值．
11．D
【详解】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.
据此可得：.
本题选择D选项.
12．D
【分析】构造函数，由已知条件研究函数在上的最值即可.
【详解】设函数，
所以，
令，则，在，，所以函数在上单调递减；
在，，所以函数在上单调递增；
所以当时，，
又当时，，
时，，因为，所以，
所以，故的最小值与最大值之积为：.
故选：D.
【点睛】方法点睛：构造函数，依据所给自变量的取值范围研究最值是解决函数应用题的一种重要方法.
13．##
【分析】先由题意解出值，进而解出即可.
【详解】因为的图象经过点，则，则，
所以，所以.
故答案为：.
14．
【详解】因为，，所以或，则图中阴影部分所表示的集合为，应填答案．
15．
【分析】根据题意，由导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率，然后由两直线垂直斜率之积为，即可得到结果.
【详解】由可得，
则曲线在点处的切线的斜率为，
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故答案为：
16．
【详解】解：f（x）=sinx+csx+2sinxcsx，x∈，
化简f（x）=（sinx+csx）2+sinx+csx﹣1
设sinx+csx=t，则t=sin（x）x+，
那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈
∴x+∈[0，]，所以：．∵函数g（t）=t2+t﹣1．
开口向上，对称轴t=－，∴是单调递增．
当t=0时，g（t）取得最小值为-1．
17．解：（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根据函数定义域化简集合A，然后根据交集的运算法则直接运算即可．（2）时求出集合B,化简集合A,再求出A、B的补集，根据集合的交集运算即可．
试题解析：（1），得，
∵，∴，
∴.
（2）∵，∴，∴，
∴.
18．（1）；（2）4
【分析】（1）根据奇函数的定义，代入化简得，进而可得的值；（2）设，可得，根据奇函数的性质得，进而可得结果.
【详解】解：（1）因为是奇函数，所以，
即，整理得，又，所以
（2）设，因为，
所以
因为是奇函数，所以
所以
【点睛】本题主要考查了已知函数的奇偶性求参数的值，根据函数的奇偶性求函数的值，属于中档题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数性质及所在象限去除根式并将正切化为正余弦，化简即可；
（2）由（1）化简，令，求出的取值范围，进而化成一元二次方程解出即可.
【详解】（1）由，
因为为第四象限角，所以，所以.
（2）由（1）知：，
所以，
令，所以，因为为第四象限角，所以，
所以，所以，
所以，所以或（舍）
所以.
20．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.
试题解析：（1）因为，所以，
又因为，所以.
利用同角三角函数的基本关系可得，且，
解得.
（2）由（1）可得，.
因为为锐角，，所以.
所以
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；
（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数在值域.
【详解】（1），∴，
，，
解得
（2）由（1）知，，，
∴函数在上递增，
，，
函数在上的值域为
22．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，令和，求得函数单调区间；
（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明．
【详解】（1）因为，
由于，令得；令得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
则其单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，
所以.
当时，因为，所以.所以是上的递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立，
因此，.
当时，，
令，得，所以当时，；当时，，
因此函数在上是增函数，在上是递减函数.
故函数的最大值为，
即.
【点睛】关键点点睛：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论．