辽宁省大连市2023_2024学年高三数学上学期9月月考含解析

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这是一份辽宁省大连市2023_2024学年高三数学上学期9月月考含解析，共16页。试卷主要包含了已知命题p，设函数，则下列是函数f，已知，，，且，，，则．，设，则，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.
【详解】因为，所以，所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：A.
2. 函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，令f′(x)<0，解得0【详解】因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，令f′(x)<0，解得0故选：B．
【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，关键在于求得导函数取正负的区间，属于基础题.
3. 已知命题p：，若是真命题，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出给定命题的否定，再利用全称量词命题为真求解作答.
【详解】依题意，命题：，即，
而函数在上单调递增，因此恒有，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
4. 设，若函数，，有大于零的极值点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.
5. 已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1，1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是
A. (0，2)B. (1，)C. (1，2)D. (0，)
【答案】B
【解析】
【分析】在区间（﹣1，1）上，由f（﹣x）＝﹣f（x），且f′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a取值范围．
【详解】∵函数f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1），
则f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；
又f′（x）＝3x2+csx＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；
∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），
∴，求得1＜a＜，
故选B．
【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．
6. 设函数，则下列是函数f（x）极大值点的是（）
A. πB. - πC. πD. -
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再根据极值点的定义即可得出答案.
【详解】解：由，
得，
令，则或，
则当时，，
当时，，
所以函数在递减，
在上递增，
所以函数f（x）极大值点的是.
故选：D.
7. 已知，，，且，，，则（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可.
【详解】由题意，得，，．
设，则，
当时，；当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
结合，时，；时，，
易画出的草图（如下图），
又，，，结合a，b，c的取值范围及的图象，可得，
故选：D
8. 设，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：，，，
①，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得
【详解】已知,对各选项逐一判断：
选项A：因为,由不等式性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.
选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.
选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.
选项D：因,所以,所以,即,所以选项D正确.
故选：D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
11. 若函数有两个极值点，设这两个极值点为，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导分析出函数的极大值点即可.
【详解】，
，
令，则方程两根为，，且，
所以，，
，，所以，
为的极大值点，即.
故选:D.
12. 已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，总有>0，则下列结论正确的是（）
A. f(-6)【答案】CD
【解析】
【分析】根据对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有>0，不妨设0≤x1【详解】因为对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有>0，
不妨设0≤x10，
所以f(x1-2)-f(x2-2)<0，f(x1-2)所以f(x-2)在[0，+∞)上是增函数，
所以f(x)在[-2，+∞)上是增函数.
因为f(x-2)是偶函数，
所以f(x-2)的图像关于y轴对称，
故f(x)的图像关于直线x=-2对称，
所以f(-6)=f（2），f(-3)=f(-1)，
则f(-3)故选：CD.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性在比较函数值大小中的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得,再将同乘可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，.
将不等式,同乘以,
则，即.
故答案为.
【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.
14. 若函数（e为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求函数的导数，由题意可知，恒成立，讨论的取值，结合不等式恒成立的条件，即可求解.
【详解】，
因为函数是减函数，所以恒成立．
令，则恒成立，
当时，成立，所以满足条件．
当时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意，舍去．
当时，要使恒成立，则，
解得，又，所以.
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：
15. 已知函数，则的极大值点为______，极大值为______.
【答案】 ①. 2e ②. 2ln 2
【解析】
【分析】首先求函数的导数，并求，并判断函数的单调区间，再求函数的极值点和极值.
【详解】易求，，
所以，则，
因此，，
由得，由得.
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因此的极大值点为，极大值为.
故答案为：；
16. 已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义结合已知条件建立关系求出a+b即可得解.
【详解】设切点为，由求导得，
因直线与曲线相切，则，解得，则，
而切点在直线上，即，于是得，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以当时，取最大值1.
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设p：实数x满足，q：实数x满足.
（1）若，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解不等式化简命题，，再求交集作答.
（2）根据给定条件化简命题，结合（1）中信息，利用集合的包含关系求解作答.
【小问1详解】
由，得，解得，于是命题：，
当时，由，解得，于是命题：，
由命题，均为真命题，得，
所以实数x的取值范围.
【小问2详解】
当时，由，解得，于是命题：，
由是的充分不必要条件，得，
因此或，解得或，则，
所以实数a的取值范围是.
18. （1）当时，求的最小值；
（2）已知函数，若对任意的正数a，b，满足，求的最小值.
【答案】（1）10；（2）12
【解析】
【分析】（1）先把化为，然后使用基本不等式求解；
（2）先判断函数为单调递减的奇函数，然后得，最后利用基本不等式中常数代换求解即可.
【详解】（1），因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为10.
（2）因为，所以恒成立，故的定义域为R，
且，所以为奇函数，
由，得，
又，易知函数在R上是减函数，
从而，所以，因，，
所以.
当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值为12.
19 求解下列两题
（1）已知函数（且），当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
（2）已知函数，若关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数运算化简，再根据不等式恒成立，转化为求函数的最小值，即可求解；
（2）首先参变分离，根据方程有解，转化为求函数的值域问题，即可求解.
【小问1详解】
设，，
再设，．
，，，
故，
对任意恒成立，
，即
故实数的取值范围为；
【小问2详解】
由题意，关于的方程有解，
则，令，，
又函数在上单调递增，所以当时，，
函数的值域为，
要使原方程有解，只需，则，
故实数的取值范围为．
20. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）证明：对一切，都有成立.
【答案】(I) . （Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）对一切，都有成立，即，结合（1）中结论可知，构造新函数，分析其最大值，可得答案．
【详解】（1）的定义域为，的导数．
令，解得；
令，解得．
从而在单调递减，在，单调递增．
所以，当时，取得最小值．
（2）若
则，
由（1）得：，当且仅当时，取最小值；
设，则，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
故当时，取最大值
故对一切，都有成立．
【点睛】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．
21. 已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值；
（2）令，将问题转化为对任意恒成立；求导后，当时，可知单调递增，由此可知；当时，可知在上单调递减，可知此时不满足；综合两种情况可得结果.
【小问1详解】
，在处的切线与平行，
，解得：.
【小问2详解】
令，
则对任意恒成立，
；
①当时，，则在上恒成立，
，满足题意；
②时，令，解得：；
当时，，此时单调递减，
，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数与单调性的关系求解即可；
（2）由题知，进而令，将问题转化为已知，证明：，再根据极值点偏移问题求解即可.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为
【小问2详解】
解：因为，故，
即，故，
设，则，
不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明： .
证明如下：
若，恒成立；
若，即时，
要证：，即证，而，即证，
即证：，其中
设，，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，
所以成立，
综上，成立.