2023届辽宁省大连市滨城联盟高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题含解析

2023届辽宁省大连市滨城联盟高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得，

所以，

由，即，所以，解得，

所以，

所以；

故选：C

2．已知为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据复数的除法解得，再结合虚部概念理解判断.

【详解】∵

∴复数z的虚部是

故选：B.

3．朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第二个音的频率为，第八个音的频率为.则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，得出通项公式，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第八个音的频率与第二个音的频率的比值．

【详解】解：设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，那么，

根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，

所以.

故选：A

4．已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（    ）

A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c

【答案】B

【分析】由题意可得，结合，的单调性可判断.

【详解】由题意，故，

由指数函数的单调性，单调递减，故，

由幂函数的单调性，在单调递增，故，

综上：.

故选：B

5．已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得、再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，解得或；

当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；

当时，，

当或时，当时，满足函数在处取得极值，

所以，

所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；

由函数在处有极值推得出，即必要性成立；

故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；

故选：B

6．下列函数的解析式（其中…为自然对数的底数）与所给图像最契合的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由图像可知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，

故对于A选项，由幂函数性质可知，为奇函数，且在上单调递增，不满足题意；

对于B选项，函数的定义域为，不满足；

对于C选项，函数，由于函数在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上为单调递增函数，故不满足；

对于D选项，易得函数为奇函数，，当时，，函数为减函数，时，，函数为增函数，且时，，时，，故满足条件.

故选：D

7．已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由平面，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，

三棱柱上下两个底面的外心连线的中点就是球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.

【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，

为的中点，为底面外接圆的半径，

由余弦定理得

由正弦定理得，由，得，

所以球的表面积为．

故选：C

8．在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（    ）

A． B．e C． D．1

【答案】A

【分析】利用对数运算将已知两个方程变形可得和，由同构方程的定义可求得，，从而可求得的值；

【详解】解：对两边取自然对数，得①，

对两边取自然对数，得，

即②，

因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，

设，，则，

所以在上单调递增，

所以方程的解只有一个，

所以，所以．

故选：A

二、多选题

9．已知偶函数，（，）的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数 B．函数在区间上单调递增

C．函数的图象关于直线对称 D．当时，函数的零点是

【答案】AB

【分析】利用周期求出，利用奇偶性求出得到可判断A；根据三角函数的单调性可判断B；带入计算可判断C；求出的零点可判断D.

【详解】

，因为，所以周期得，

所以为偶函数，所以，

因为，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，故A错误；

对于B，当时，，而函数在上不单调，因此函数在区间上不单调，B错误；

对于C，当时，，为的最小值，因此函数的图象关于直线对称，C正确；

对于D，令，得，，

当时，函数的零点是，故正确.

故选：AB.

10．已知数列，且满足，，，则下面说法正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．数列为等差数列

C．数列的前n项和为 D．

【答案】ABD

【分析】对递推公式进行变换，构造新数列，即可求出 的通项公式和前n项和.

【详解】由 ，可得 ，令 ，

则有 ，所以 是常数列，  ，

则有 ，

令 ，则有 ， 是公比为3的等比数列， ，

，即 ；

，令 ，  也符合 ，是首项为1，公比为3的等比数列；

所以， 的前n项和为 ，

所以A正确，B正确，C错误，D正确；

故选：ABD.

11．记，已知，且，则下列结论正确的为（    ）

A．的最小值为8 B．的最小值为8

C．的最小值为 D．的最小值为6

【答案】BCD

【分析】A选项直接通过基本不等式和化积，解关于积的不等式可求得其最大值；BC选项均以含y的式子表示x，再代入构造对勾函数求最小值即可判断；D选项需对和的大小进行讨论，分别求得最小值来判断.

【详解】A选项，，解得，A不正确；

B选项，由得，，

则

当且仅当，即时取“”，B正确；

C选项，，

当且仅当，即时取“”，C正确；

D选项，，令，则，

当时，，，

当时，，，

故的最小值为6，D正确；

故选：BCD.

12．已知奇函数在上有定义，且满足，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．是函数的周期

B．函数在上的最大值为

C．函数在上单调递减

D．方程在上的所有实根之和为

【答案】AD

【分析】根据已知结合奇函数性质可得是函数的周期，根据导数研究函数的单调性，，再结合奇函数的性质和周期性可求最大值，根据函数的对称性可求得方程在上的所有实根之和.

【详解】对于A，是上的奇函数，，，故是函数的周期，故A正确；

对于C，当时，，求导，，，，，，则单调递增，又为奇函数，所以函数在上单调递增，故C错误；

对于B，由可得关于对称，故在上单调递增，又是奇函数且周期为，，故B错误；

对于D，方程的根等价于与的交点的横坐标，根据的单调性和周期可得，与在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，所以方程在上的所有实根之和为，故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点睛：本题考查函数的周期性，对称性，函数的铃铛，解决本题的关键是判断出是函数的周期且在单调递增，在单调递减，且关于对称，考查学生的转化能力与运算求解能力，数据较难题.

三、填空题

13．已知等差数列的前n项和为，若，，则______．

【答案】12

【分析】由等差数列的性质求解

【详解】由题意得成等差数列，

则，得

故答案为：12

14．已知，若，则______．

【答案】

【分析】根据指、对数运算结合题意运算求解.

【详解】∵，即

∴

故答案为：.

15．在中，CA＝CB＝1，，若CM与线段AB交于点P，且满足，（,），且，则的最大值为______．

【答案】2

【分析】利用平面坐标系可得点M坐标满足，从而得到，利用基本不等式即可求得的最大值.

【详解】如图所示：

设，，因为，CB＝1，则，

，，设，则，

因为，所以，

因为，则，

所以有，

即，即，

又（,），

所以，

解得，当且仅当时不等式取等号.

则的最大值为2.

故答案为：2

16．已知，若恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】．

【分析】根据函数的奇偶性，可得出的图像关于对称，又根据导数得出是上的增函数，故可将问题转化为，利用导数求在上的最大值即可.

【详解】令，则有，

∴为奇函数，图像关于点对称，

，

∴的图像关于对称，

且，

由，

所以是上的增函数，

，

等价于，

所以，所以，

令，则，

因为且定义域为，

所以是上的偶函数，

所以只需求在在上的最大值．

当时，，

，

则当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

可得：，

即．

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

四、解答题

17．定义：对任意平面向量，将绕其起点A沿逆时针方向旋转角后得到向量，则叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点Q，已知平面内两点，．

(1)将点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点Q，求点Q的坐标；

(2)已知向量，且满足对任意的角恒成立，试求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据定义可知，又有，从而求得点Q的坐标；

（2）化简可得，根据的范围可求得，进而可得实数m的取值范围.

【详解】(1)因为，，所以，

所以x＝1，，依据题设定义得．

所以．

设点Q的坐标为，则有，

从而，解得．

所以点．

(2)由（1）及题设，得．

因为，所以

，

因为不等式对任意的角恒成立，

即对任意的角恒成立，

记，

则只须．由于，所以，

所以，

所以，即．

18．如图所示，斜三棱柱中，点为棱（不包括端点）上的点．

(1)当等于何值时，平面；

(2)设多面体的体积为，三棱柱的体积为，求；

(3)若，，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)

(2)；

(3)

【分析】（1）取比值为1时的点，根据线面平行判定定理，结合中位线的定理，可得答案；

（2）利用空间几何体的组合，列出关于体积加减的方程，根据同高同底的三棱锥与三棱柱体积之间的关系，可得答案；

（3）利用空间向量的基本定理，选定一组基底，表示出直线的方向向量，根据向量夹角与线线夹角，可得答案.

【详解】(1)取为线段的中点，此时，连接交于点O，连接．

由棱柱的定义知，四边形为平行四边形，所以点O为的中点．

在中，点O，分别为，的中点，所以．

又因为平面，平面，所以平面．

所以当时，平面．

(2)因为，

又因为三棱锥和三棱锥与三棱柱具有相同的高，

所以，所以，所以．

(3)设，，，则，，

，

，，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求的值；

(2)若的面积为，且，求c的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理统一为角，进行三角恒等变换即可求解;

（2）由（1）及面积公式可求出，分，分别化简求解即可.

【详解】(1)∵，

由正弦定理得，

∴，

故，

，

，

，

∵，，．

(2)由（1）知，又，∴.

∵，∴.  

又，即，

，

整理得，

①当时，，又，，

易知在中，，又，可知；

②当时，，由正弦定理得，

又，解得，，

由余弦定理得，

解得．

综上①②得．

20．已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：

①；②；③

请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的前n项和，并证明：．

【答案】(1)；

(2)；证明见解析.

【分析】（1）根据与的关系结合等比数列的定义即得；

（2）由题可得，，然后根据裂项相消法即得.

【详解】(1)若选择条件①：因为，

当时，，

两式相减得，

所以当时，当n＝1时符合，

∴；

若选择条件②：因为，

当时，

两式相减得，，

∴是首项为2，公比为2的等比数列，

∴；

若选择条件③：∵，

∴时，，

两式相减得，

当n＝1时，，可得，，

∴时成立，

∴是首项为2，公比为2的等比数列，

∴；

(2)由（1）可知，

则，

所以，

因为，

所以各项均为正数，

所以，

又因为，

所以．

21．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；

(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)总有平面平面PAG；证明见解析

(2)

(3)存在；Q为线段PA的中点．

【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面PAG.

（2）首项判断出平面MNDB时，四棱锥P-MNDB体积最大，作出直线PB和平面MNDB所成角，解三角形求得其正弦值.

（3）建立空间直角坐标系，设，根据二面角的余弦值求得，由此确定点的位置.

【详解】(1)在翻折过程中总有平面平面PAG，

证明如下：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴，

又因为菱形ABCD中∠DAB＝60°，∴是等边三角形，

∵G是MN的中点，∴，

∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴，∴，

∵，平面PAG，平面PAG，

∴平面PAG，∴平面PAG，∵平面PBD，∴平面平面PAG．

(2)由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，，

所以等腰梯形MNDB的面积，

要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，

∴当平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为，

此时四棱锥P-MNDB体积的最大值为，

连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，

在中，，，由勾股定理得：．

∴．

(3)假设符合题意的点Q存在．

以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

因为平面PMN，故平面PMN的一个法向量为，

设，∵，，

故，∴，，

平面QMN的一个法向量为，则，，

即，令，所以，

即，

则平面QMN的一个法向量，设二面角的平面角为，

所以，解得：，

故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点．

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

(3)当时，证明：．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）分别在和的情况下，结合的定义域及的正负可确定的单调性；

（3）方法一：将恒成立的不等式转化为在上恒成立，利用导数可得单调性，从而得到；由（2）可证得，由此可得结论；

方法二：将恒成立的不等式转化为，由（2）的结论可知，令，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论.

【详解】(1)当时，，，，

又，所求切线方程为：，即.

(2)由题意得：，；

①当时，定义域为，恒成立，

在上单调递减；

②当时，定义域为；

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(3)方法一：不等式等价于，

令，

则，

设，则，

在上单调递增，，又，，

在上单调递减，；

由（2）可知：当时，，则，

；

当时，，；当时，，；

；

综上所述：当时，.

方法二：不等式等价于，

由（2）可知：当时，，则，即

，即，

设，则，

设，则，在上单调递增；

又，当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，

即当时，.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性、不等式的证明问题；本题证明不等式的关键是能够采用变更主元或者放缩的方式将问题转化为函数最值的求解问题，利用导数求解函数的最值即可得到结论.