四川省达州市2023_2024学年高二数学上学期第一次考试

这是一份四川省达州市2023_2024学年高二数学上学期第一次考试，共8页。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则的真子集个数为( )
A. 3B. 4C. 7D. 8
2.已知,则的共轭复数 ( )
A. B. C. D.
3.设是不同的直线，是不同的平面，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面圆上各点均在该球面上），且该圆锥的侧面积为，则此球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，，与平面的距离为，该五面体的体积为( )
A.B. 6C. 9D.
6.已知，则的最小值为( )
A. 6B. 7C. 8D.9
7.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时， ，则= ( )
A. -1B.0C. 1D.2
8.如图，直角梯形中，,为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且,则下列结论错误的是( )
A. 与平面所成角的正切值为B.
C. 二面角的大小为D. 平面平面
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
9.已知点为平面外一点，则下列说法正确的是( )
A. 过点只能作一个平面与平行B. 过点可以作无数条直线与平行
C. 过点只能作一个平面与垂直D. 过点只能作一条直线与垂直
10.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物某地8月1日到8月10日的日均值（单位：）分别为36,32,38,34,32,88,42,36,30,32,则关于这10天中日均值的说法正确的是( )
A. 众数为32 B. 第80百分位数是38 C. 平均数是40 D. 前4天的方差比后4天的方差小
11.函数在一个周期内图象如图，则 ( )
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的一条对称轴方程为
C. 该函数的单调递减区间是
D. 把的图象上所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某正四棱台的上、下底面边长分别是3，9，侧棱长是6，则它的体积为___________.
14.若向量，向量，则向量在向量上的投影向量坐标为___________.
15.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为___________.
16.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的大小．
18. （12分）
某校对高一年级1000名学生的身高进行了统计，发现这1000名学生的身高介于（单位：cm），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍.
（1）求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：cm）的中位数（保留位小数）；
（2）若采用分层抽样的方法从前两组中抽取6位同学参加某项课外活动，在这6位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率.
19. （12分）
在中，内角所对的边分别为且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长．
20. （12分）
如图，在三棱锥中，,D为线段AC的中点， E为线段PC上一点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求三棱锥的体积．
21. （12分）
已知函数，且最小正周期是．
（1）求的解析式，并求的单调递增区间；
（2）将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求实数m的取值范围．
22. （12分）
如图（1），在中，E,F,H分别为边AB,AC,BC的中点，以EF为折痕把折起，使点A到达点P位置(如图(2))．
(1)当时，求二面角的大小；
(2)当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：
①设平面PBE与平面PFH的交线为，求证：；
②在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为?若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．
高2025届高二（上）第一次月考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-5:CDADB 6-8:DBA
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：(1)证明：连接AC.
⸪E,F分别是AD1,CD1的中点
⸫EF∥分
又
⸫EF∥平面分
(2)⸪EF∥AC, B1C1∥BC
⸫（或其补角）为异面直线EF与B1C1所成角分
易求得=45
⸫异面直线EF与B1C1所成角为分
18.解：（1）由频率分布直方图可知第四组的频率为
设第一组的频率为，由题可知，解得
∴第一组的人数为人分
前三组的频率之和为，
估计中位数为分
（2）第二组频率是第一组频率的倍，所以第一组抽取2人，记为A,B，第二组抽取4人，记为C,D,E,分
从6人中随机抽取人的样本点有以下15个：
（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）分
其中两人来自于同一组的样本点有以下7个:
（A,B）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）分
故所求概率为分
解：(1)⸪
分
分
分
(2)分
分
所以的周长为 分
20．解：（1）证明：由平面平面且可得平面由平面可得分
（2）证明：由为线段的中点,
可得由平面平面
可得平面平面又平面平面
平面且即有平面又平面
可得平面平面分
（3）解：平面平面且平面平面
可得又为的中点，可得为的中点，且
由平面可得平面分
又
则三棱锥的体积为分
21.解：（1）
由解得
分
的单调递增区间为分
(2)将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象；再向左平移个单位，可得的图象，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，分
恒成立,
当时，恒成立，
只需分
当时，
从而即
的取值范围是 分
22.解：(1)由于则二面角的平面角为 分
在中，已知由余弦定理得，
又所以所以二面角的大小为 分
（2）当四棱锥的体积最大时,平面
在直角梯形中, 所以四边形为平行四边形.
所以平面平面,所以平面
又平面,平面平面所以
因为平面平面所以
又所以
又、平面所以平面分
当四棱锥的体积最大时，由（1）知平面所以与平面所成角为所以,解得分
在中,由余弦定理可得
即解得或
所以点为靠近点或点的线段的四等分点. 分