四川省成都市成华区某校2023_2024学年高三数学上学期10月月考文科试题含解析

这是一份四川省成都市成华区某校2023_2024学年高三数学上学期10月月考文科试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.
【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则，
所以.
故选：A.
2. 已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由已知等式求出复数，得到复数，由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.
【详解】由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
3. 抛物线的准线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化为标准型，利用抛物线的准线方程可得答案.
【详解】因为，所以，所以准线方程为.
故选：A.
4. 已知函数，则（）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.
【详解】由题意可得：.
故选：C．
5. 已知满足约束条件,则目标函数的最小值是（）
A. 1B. 2C. 11D. 无最小值
【答案】A
【解析】
【分析】作出可行域,将目标函数变为,通过平移直线即可求出的最小值.
【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.
故选:A.
6. 下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.
【详解】显然函数、都是奇函数，AC不是；
当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是；
函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.
故选：D
7. 定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，
又函数是偶函数，则，变形可得，
则有，进而可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
则.
故选：C.
8. 用半径为10cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（）
A. B. 128C. D. 96
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可求得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为，
由题意可得，
故圆锥的高为，
故圆锥的体积为，
故选：C
9. 下列说法正确的有（）
①对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大；
②我校高一、高二、高三共有学生人，其中高三有人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，那么应从高三年级抽取人；
③若数据、、、的方差为，则另一组数据、、、的方差为；
④把六进制数转换成十进制数为：.
A. ①④B. ①②C. ③④D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】利用独立性检验可判断①；利用分层抽样可判断②；利用方差公式可判断③；利用进位制之间的转化可判断④.
【详解】对于①，对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大，①对；
对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为，②错；
对于③，记，则，
所以，数据、、、的平均数为
，
其方差为
，③错；
对于④，把六进制数转换成十进制数为：，④对.
故选：A.
10. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数图象可求出的解析式为，再根据平移规则可得.
【详解】由图象可知，，解得；
由振幅可知；
将代入可得，又，即可得，
因此，
易知，
故选：C.
11. 人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）
A. 1倍B. 10倍C. 100倍D. 1000倍
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.
【详解】∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足，
又∵老师的声音的等级约为63dB，
，解得，即老师的声音强度约为，
∵两人交谈时的声音等级大约为，
，解得，即两人交谈时的声音强度约为，
老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.
故选：C
12. 函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将在上的图象每次向右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，得到在上的图象，根据的图象与有四个不同的交点，得到的取值范围.
【详解】先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，
同理得到上的图象，如图：
函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，
由图可知，故.
故选：A．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知等差数列的前n项和为，若，则______．
【答案】35
【解析】
【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.
【详解】解：等差数列的前n项和为，，
，
故答案为：35.
14已知，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出，然后根据二倍角公式即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，
则，
故答案为：.
15. 如图，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.
【详解】
设双曲线的标准方程为，
设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，
则，
因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，
故点，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：
16. 设函数，有下列结论：
①的图象关于点中心对称；
②的图象关于直线对称；
③在上单调递减；
④在上最小值为，
其中所有正确的结论是______．
【答案】②③
【解析】
【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．
【详解】
，
当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；
当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；
由，得，
当即时，函数单调递减，
则当时，函数单调递减，故③正确；
当时，，可知函数在上单调递增，
∴的最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
，附表：
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
【答案】（1）
（2）列联表见解析，有把握.
【解析】
【分析】（1）分析可知，35周岁以上组工人有(人)，记为；35周岁以下组工人有(人)，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合独立性检验的基本思想可得出结论.
【小问1详解】
解：由已知得，样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，
35周岁以上组工人有(人)，记为；
35周岁以下组工人有(人)，记为，
从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:
，，，，
至少有一名“35周岁以下组”工人可能结果共有7种：
，，，，，，，
故所求的概率:.
【小问2详解】
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，
“35周岁以上组”中的生产能手(人)，
“35周岁以下组”中的生产能手(人)，
据此可得列联表如下:
所以得:，
所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
18. 已知向量，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，分别是角的对边，且，，求的周长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简，再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.
【小问1详解】
依题意，，
由得：，
所以函数单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，，即，而，
则，于是，解得，
由余弦定理有，即，
解得，
所以的周长为.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．
（1）若为线段上动点，证明：；
（2）求点与平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为线段上动点，明显要证明平面，利用线面垂直判定定理，分别证明，即可；
（2）利用等体积变换求距离即得.
【小问1详解】
连接，．
∵为等边三角形，，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
，，，
又，平面，平面，，
平面
又平面，
【小问2详解】
由（1）知平面
平面，∴．
由题意，
∴，，
∴中，，
∴中，，
∴中，由余弦定理得，
设点到平面的距离为，
则即，
，
得，
故点与平面的距离为
20. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再将代入椭圆方程，即可求出，进而得出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为，由点到之间距离公式及勾股定理得出，设，，由直线方程与椭圆方程联立，得出和，代入，设，，由的单调性得出值域，即可求出的范围．
【小问1详解】
因为的周长为8，
所以，解得，
将点的坐标代入椭圆方程，得，解得，
所以椭圆E的方程为．
小问2详解】
由（1）知圆的方程为，设直线l的方程为，
则圆心到直线l的距离，
由，可得．
设，，联立方程组，
消去x得，
则，，
所以，
设，则，
设，
易知在上单调递增，则在上单调递增，
因为，
所以．
21. 已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，得到，利用导函数几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，结合函数单调性，得到要满足函数有2个零点，只需，构造函数，，求导，得到其单调性，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
函数的定义域为，
，
当时，恒成立，单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
22. 数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，
（1）求E的极坐标方程；
（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；
（2）不妨设，，，，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.
【小问1详解】
将，代入曲线E，
得，即，
所以，E的极坐标方程为；
【小问2详解】
不妨设，，
即，，
则的面积
由于，
令，
则，，
则，
故当时，，
即的面积的最大值为.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
生产能手
非生产能手
合计
35岁以下
35岁以上
合计
生产能手
非生产能手
合计
35岁以下
10
30
40
35岁以上
30
30
60
合计
40
60
100