2024届四川省成都市成华区某校高三上学期一模数学（理）试题

这是一份2024届四川省成都市成华区某校高三上学期一模数学（理）试题，共11页。试卷主要包含了已知是实数集，集合，则，若复数满足，则下列说法正确的是，已知，则，的展开式中，含项的系数为，已知函数满足等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把答案直接填涂在答题卷上.
1.已知是实数集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A.的虚部为2 B.为实数
C. D.
3.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多
5.已知变量满足约束条件，则的最大值（ ）
A.-1 B.1 C.4 D.8
6.的展开式中，含项的系数为（ ）
A.60 B.-60 C.-80 D.80
7.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
9.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲､乙､丙､丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）
A.240 B.480 C.1440 D.2880
10.已知函数满足：，函数，若，则（ ）
A.-2 B.0 C.1 D.4
11.在等腰三角形中，点在底边上，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值4，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二､填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上）
13.某班甲､乙两名同学进入高中以来5次物理考试成绩的茎叶图如图，甲､乙两人5次考试成绩的平均数与中位数之差较大者是__________.（填甲或乙）
14.已知点是球表面上的点，平面，四边形是边长为的正方形，若，则的面积为__________.
15.已知点都在抛物线上，且关于直线对称，若则实数__________.
16.已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为__________.
三､解答题：本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22､23题选做一题，10分，共70分.
17.（本小题12分）已知数列为等比数列，首项，公比，且是关于的方程的根.其中为常数.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求使的的最大值.
18.（本小题12分）为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；
（2）在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望.
附：.
19.（本小题12分）已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.
（1）求证：四点共面，并证明平面；
（2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.
20.（本小题12分）已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标.
21.（本小题12分）已知函数.（是自然对数的底数）
（1）求的单调递减区间；
（2）记，若，试讨论在上的零点个数.（参考数据：）
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22.选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.
23.选修4-5（不等式选讲）（10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，且，求证：.
数学（理科）参考答案
一､选择题：
1-5CCCDD 6-10CBABB 11-12CD
二､填空题
13.乙 14. 15. 16.
三､解答题（共70分.）
17.【解析】：（1）在单调递减，
数列为等比数列，，公比，且.
故：，解得：或-3（负值舍去），故：
（2）由（1）得：，
所以：，所以：，
所以：使的的最大值为：，
解得：，故：的最大值为48.
18.【解析】：
.
所以有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，3个是城市学校，抽取2个，则可能取值为.
所以的分布列为：
的数学期望
19.【解析】：（1）在棱分别取点，使得，
易知四边形是平行四边形，所以，联结，则，且所以四边形为矩形，故，同理，
且，故四边形是平行四边形，所以，所以
故四点共面
又平面平面，
所以平面.
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，轴过且平行如图建系
平面中向量，
设平面的一个法向量为，则，
可得其一个法向量为
平面中，，
设平面的一个法向量为，则，
所以取其中一个法向量.
若，
则，
即有，解得或，所以.
20.（1）因为的面积，且，
故解得，则，则陏圆的标准方程为
（2）假设，
直线与椭圆联立得消去整理得，
则，又因为，
所以，则，
即，
代入韦达定理得，
即，化简得，因为，则
即代入直线得，
所以恒过，故直线经过定点
21.【解析】：（1），定义域为.
由解得，解得.
的单调递减区间为.
（2）由已知.
令，则.
当时，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减.
①当，即时，.
，使得，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
.
又，
由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点.
②若时，，
又在上单调递增，在上单调递减，又，
，使得，
且当时，；当时，.
在和上单调递减，在上单调递增.
.
又，由零点存在性定理可得，
在和内各有一个零点，
即此时在上有两个零点
综上所述，当时，在上仅有一个零点；
当时，在上有两个零点.
注：也可以用“半分参”解答
22.【解析】：（1）因为，
所以可化为，
整理得，
（为参数），则（为参数），化为普通方程为，
则极坐标方程为，即.
所以的极坐标方程是的极坐标方程是.
（2）由（1）知，
联立可得，
联立可得，
所以，
当时，最大值为，所以的最大值为.
23.【解析】：（1）依题意，原不等式等价于.
当时，则，解得.
当时，则不成立，不等式解集为.
当时，则，解得.
所以不等式的解集为或.
（2）证明：要证，只需证，只需证.
因为，知，所以.故成立.从而原不等式成经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村
城市
总计
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村
40
40
80
城市
60
20
80
总计
100
60
160
0
1
2