四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三“三诊”数学（文）试题

这是一份四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三“三诊”数学（文）试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若，均小于4，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，则（ ）
A．B．4C．D．1
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．若实数，满足约束条件则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．2
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55B．49C．43D．37
7．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．，，，四点共面B．
C．，，三线共点D．
8．若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．在中，，，，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
10．已知函数（为常数，，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上的点，点是内切圆的圆心，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
12．若，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为___________.
14．若复数满足，则的最小值为___________.
15．设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则___________.
16．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，___________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分.
17．（本小题12分）
某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.
（1）求和的值；
（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
18．（本小题12分）
已知正项数列的前项积为，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
19．（本小题12分）
如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.
（1）证明：；
（2）若且的面积为，求三棱锥的体积.
20．（本小题12分）
已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点，是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，证明：直线的经过定点，并求出定点坐标.
21．（本小题12分）
已知函数，其中实数.
（1）求证：函数在处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若函数有两个零点，，且，求的取值范围.
22．（本小题10分）
多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地，如图，若场地边界曲线分别由两段同心圆弧，和两条线段，四部分组成，在极坐标系中，，、、三点共线.，点在半径为1的圆上.
（1）分别写出组成边界曲线的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；
（2）若需设置一个距边界曲线距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
住：，.
23．（本小题10分）
已知函数，.
（1）当时，求不等式；
（2）对任意.关于的不等式总有解，求实数的取值范围.
高三三诊模拟考试数文科答案
一、选择题：1---5：CCDBC6---10:ADBCA11---12:AD
二、填空题：13.814.115.616.
三、解答题：
17.解：（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人，
所以其频率为.又因为组距为0.5，所以.
又因为，所以，
即，. 6分
（2）因为屏幕需求尺寸为人数为：，
屏幕需求尺寸为人数为，
若要用分层抽样的方法抽取6人
所以要在组中抽2人，设为，；要在组中抽4人，设，，，，
因此样本空间
，，，，，，
，，，，共15个基本事件，
而这2人来自同一分组为事件，
，共7个基本事件，
所以这2人来自同一分组的概率. 12分
18.解：（1）证明：因为，且，所以，
因为，所以，所以得，则，
因为当时，，得，所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列. 6分
（2）由（1）知：，即.
所以. 12分
19.证明：（1），，，
由余弦定理得，解得，
所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，所以； 6分
（2）在中，，，，
所以，，所以，
因为，又，
解得，则，所以
12分
20.解：（1）由题意，知，解得，
所以椭圆的标准方程为. 5分
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
联立，得，
由韦达定理得，所以，
因为
所以，即，所以直线的方程为，
即，由，得，故直线恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，则，
所以，解得，
所以此时直线也过点 12分
21.解：（1）证明：因为，所以，所以，所以，又，
所以切线方程为，即，
则当时，所以切线恒过定点； 5分
（2）解：因为的定义域为，所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，要使有两个零点，则，解得，
又，，
所以当时，在和上各有一个零点，且，
所以，由单调性知，当时，，当时，
因为，所以，即，
所以，而，所以，
所以，令，，
则，所以在上单调递增，
所以，所以. 12分
22.解：（1）由题意，以为原点，的垂直平分线为极轴建立极坐标系，
线段：，
线段，
弧
弧； 5分
（2）解：求警示区域最小值即让内界线到距离恰好为1，设矩形长为，则（包括弧长半径、圆半径、两边距距离），
矩形宽为，则，，，
所以. 10分
23.解：（1）由已知，不等式即为，
解得：
故不等式的解集为. 5分
（2）对任意.关于的不等式总有解，
而，当且仅当，即时取得最小值.
又（当且仅当时取等号），
故只需，解得，即实数的取值范围为. 12分