江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试 数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，；命题，，则（ ）
A．P和q都是真命题B．和q都是真命题
C．P和都是真命题D．和都是真命题
函数在区间的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
4．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
5．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
10．定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面所成角为
D．平面经过棱的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．“”是“”的______．
（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）
13．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为______．
14．已知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求点E到平面的距离．
16．（15分）
已知函数．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
17．（15分）
如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD．
（1）证明：平面平面PBD；
（2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．
18．（17分）
设函数．
（1）若，，求证：有零点：
（2）若，，是否存在正整数m，n，使得不等式的解集为，若存在，求m，n；若不存在，说明理由；
（3）若，非空集合，求的取值范围．
19．（17分）
已知有限集，若，则称A为“完全集”．
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
（3）若A为“完全集”，且，求A．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。