2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断调研测试数学试题含解析

2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断调研测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得，再对集合分类讨论，即可得答案；

【详解】

①若，则，解得；

②若，则应满足：，解得；

综上得．

故选：B．

【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值，考查运算求解能力，求解时注意等号能否取到.

2．已知，为正实数，则“”是“”的（       ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由，利用均值不等式，可证明；若，举反例可知不一定成立，即得解

【详解】由，为正实数，，当且仅当时等号成立

若，可得，故必要性成立；

当，此时，但，故充分性不成立；

因此“”是“”的必要不充分条件

故选：B

3．已知，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定函数的奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性变形不等式，由单调性求解．

【详解】由题意知的定义域为R，且，得为奇函数，且，且在上单调递增．

由得，即．解得．

故选：B．

4．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）．

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是，根据规律即可求出属于，进而根据不等式可求解.

【详解】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间

经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，

经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为

由化简得，解得

故选:A

5．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果.

【详解】是等比数列              

是等差数列              

本题正确选项：

【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.

6．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】由已知得：,

即：，

即：,

所以,

故选：C

7．已知实数a，b满足，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意，得，代换，代换，则满足：，即，

以代换，可得点，满足，因此求的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，设直线与曲线相切于点，则，解得，所以切点为,所以点到直线的距离，则的最小值为，综上所述，选C.

【解析】1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.

【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理能力与计算能力，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变形发现变成求的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，因此在曲线上找到一个和平行的直线与之间的距离最小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将已知条件合理转换是解决问题的关键.

8．如图，为测量某公园内湖岸边两处的距离，一无人机在空中点处测得的俯角分别为，此时无人机的高度为，则的距离为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，得到答案.

【详解】如图所示，设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，

由正弦定理得，

所以

故选：A.

【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.

二、多选题

9．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，周长为L，则（       ）

A．若，r确定，则L，S唯一确定

B．若，l确定，则L，S唯一确定

C．若S，L确定，则，r唯一确定

D．若S，l确定，则，r唯一确定

【答案】ABD

【解析】根据弧长、周长及扇形面积公式计算可得；

【详解】解：依题意可得，，

对于A：若、确定，显然，唯一确定，故A正确；

对于B：若、确定，由，则确定，所以，唯一确定，故B正确；

对于C：若、确定，则， 与需要解三次方程，所以、不唯一确定，故C错误；

对于D：若、确定，则， 即可唯一的求出与，所以、唯一确定，故D正确；

故选：ABD

10．已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；

【详解】对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；

当时，满足，不满足，即推不出，不必要；A错误；

对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；

当时，平方得，又，又，故，

即能推出，必要；B正确；

对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；

当时，由，，即能推出，必要；C正确；

对于D，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；

当时，满足，不满足，即推不出，不必要；D错误.

故选：BC.

11．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（       ）

A．将这1864人派谴完需要16天

B．第十天派往筑堤的人数为134

C．官府前6天共发放1467升大米

D．官府前6天比后6天少发放1260升大米

【答案】ACD

【分析】记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，依题意可得是以64为首项，7为公差的等差数列，是以192为首项，21为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；

【详解】解：记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，则是以64为首项，7为公差的等差数列，即，是以192为首项，21为公差的等差数列，即，所以，B不正确.

设第k天派遣完这1864人，则，解得（负值舍去），A正确；

官府前6天共发放升大米，C正确，

官府前6天比后6天少发放升大米，D正确.

故选：ACD

12．函数在上的大致图像可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据的取值分类讨论，研究函数性质后判断图象

【详解】①当时，为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意

②当时，令，作出两函数图象，研究其交点

数形结合可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项

时，；时，

若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意

若在内有两交点，同理得B选项符合题意

故选：ABC

三、填空题

13．已知内角，，的对边分别为，，，那么当______时，满足条件“，”的有两个．（仅写出一个的具体数值即可）

【答案】内任一数

【分析】由正弦定理可得，然后可求出的范围.

【详解】由正弦定理得，所以

若满足条件的有两个，则且

所以

故答案为：内任一数

14．已知，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】试题分析：由已知

则×，当且仅当时，取“=”则此时，由于，解得，,故答案为．

【解析】1.基本不等式；2.方程组的解法.

15．若数列满足，且，则________.

【答案】

【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.

【详解】因为，

所以，

数列是等比数列，首项为，公比为，

则通项，

可得：，

则.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

四、双空题

16．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则_________，的取值范围是__________．

【答案】         

【分析】根据题意，分和，结合导数的几何意义得函数的图象在点和点的两条切线分别为和，再结合题意得，进而得第一个空的答案，再求坐标，结合距离公式求和化简整理得，最后求范围即可得答案.

【详解】解：当时，，故，

所以函数的图象在点处的切线斜率为，

切线方程为，

所以，

当时，，，

所以函数的图象在点处的切线斜率为，

切线方程为

所以，

因为函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，、

所以，即，

所以，

，

，

所以，

由于，所以，

所以，

因为，所以，所以

所以的取值范围是

故答案为：；.

五、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.

(1)求；

(2)若的面积为，的中点为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.

（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.

（1）选①，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以，又因为，所以，所以，解得.②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，解得，因为，所以.③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.

（2），解得，由余弦定理可得，所以 ，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.

18．函数.

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；

（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】（1）当时，

，

对称轴

，

，

∴函数在上的值域为.

（2）∵，

∴对称轴，

∴在区间上单调递增，

∴，

，

∴，

即对任意，不等式恒成立，

设，

由于在区间上恒成立，所以

则，即，

解得或.

【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.

19．已知，，.函数的最小正周期为

（1）求函数在内的单调递增区间；

（2）若关于的不等式在内恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）、；（2）.

【分析】（1）本题首先可根据、得出，然后通过转化得出，再然后根据最小正周期为得出，最后通过正弦函数单调性即可得出结果；

（2）本题首先可将转化为，然后设，则，，最后设，通过求出即可得出结果.

【详解】（1）因为，，

所以，

则

，

因为最小正周期为，所以，，.

令，解得，

则函数在内的单调递增区间为、.

（2），

即，

整理得，，

即在内恒成立，

令，则，，

设，易知当时函数单调递增，

故，，，的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则、三角恒等变换、正弦函数的性质、同角三角函数关系以及利用函数最值求参数的取值范围，能否通过三角恒等变换得出是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是难题.

20．已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）函数的极大值为，极小值为；（2）讨论过程见解析.

【分析】（1）根据导数的性质，结合函数极值的定义进行求解即可；

（2）根据函数导函数的零点之间的大小关系进行分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

所以当时，函数有极大值，

极大值为：，

当时，函数有极小值，极小值为，

即函数的极大值为，极小值为；

（2），

当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；

当时，令，得，

当时，，，函数在整个实数集上单调递增；

当时，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；

当时，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

综上所述：当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；

当时，函数在整个实数集上单调递增；

当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；

当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.

【点睛】关键点睛：根据函数导函数的零点的大小分类讨论是解题的关键.

21．设等比数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列的通项公式；

（2）根据等差数列的性质，可得，可得，再利用错位相减法即可得出．

（1）解：∵①时，②①−②而，由为等比数列，∴，∴；

（2）解： ，∴∴①②①−②，∴

22．已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

【答案】(1)

(2)证明见的解析

【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.

（1）的定义域为，令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为

（2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1不妨设要证,即证因为,即证因为,即证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以.

【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式

这个函数经常出现，需要掌握