湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期10月第二次月考数学试题

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1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B．2 C． D．5
3．如图，在中，，P是BN的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知命题，，则p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．
B．直线是曲线的对称轴
C．在区间有两个极值点
D．在区间单调递增
10．在单位圆中，O为圆心，AB为直径，P为圆上任意一点，M、N为直径AB上（含端点）相异的两点．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则向量，的夹角为
C．
D．若，则
11．已知，分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为8
C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知，，若，则________．
13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则________．
14．已知数列中，，且满足，则________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若的面积为，，点D为边BC上靠近B的四等分点，求AD的长．
16．（15分）已知数列的前n项和为，，满足．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
17．（15分）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，．
（1）求证：平面AEG；
（2）在线段EG（不含端点）上是否存在一点H，使得平面ABH与平面SCD所成角的正弦值为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，右项点Q与C的上，下顶点所围成的三角形面积为．
（1）求C的方程；
（2）不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为．
（ⅰ）证明：直线l过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
19．（17分）已知，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若数列（e为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数n的取值范围；
（3）数列满足，，．证明：对任意的，．
周南中学高三第二阶段考试数学参考答案
一、单选题
1．A【详解】，，，．
2．C【详解】，．
3．D【详解】因为P是BN的中点，所以．所以，所以，，所以．
4．B【详解】命题，，等价于，恒成立；又在单调递减，在单调递增，，故在上的最大值为4；故，恒成立，即，也即命题p的充要条件为；结合选项，p的一个充分不必要条件是．
5．D【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，不妨假设，则，可得，即，可知函数在上递减，则，解得：，所以a的取值范围是．
6．A【详解】因为公差的等差数列中，，，成等比数列，所以，即，解得，所以．
7．D【详解】由于，，则，而，故，∴，由，，可得，则，故．
8．A【详解】当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则时，．当时，．作出大致图象，函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个根．令，则需方程（*）．
（1）在区间和上各有一个实数根，令函数，
则，解得．
（2）方程（*）在和各有一根时，则，即，无解．
（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足．
（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足．
综上，．
二、多选题
9．AD【详解】代入点，，∴，∵，∴，故A正确．B选项：代入，，故B错误．，，有且仅有一个极值点，C错误．，处于递增区间，D正确．
10．ACD【详解】，A正确．若，则，∵，解得，，故B错误．设MN的中点为D，则，当N、M、P三点很贴近时，长度接近0；当N、M很贴近且PN为直径时，的长度接近直径，故C正确．由极化恒等式，，，，故D正确．
11．AC【详解】∵是奇函数，∴是偶函数，∴，，又，故，∴是偶函数．，又，：，故关于点对称，∴4是的周期，A正确；，C正确．，，4是的周期，B错误．，因为，均未知，故不选D．
三、填空题
12．【详解】∵，∴，∴，．
13．0【详解】曲线在处的导数为，∵，故切线为．曲线在处的切线方程为，故，解得，．
14．【详解】由题意可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，则，又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则，则．
15．【详解】（1）因为，
所以由余弦定理可得，即． 2分
由余弦定理可得， 3分
又，所以． 5分
因为，所以
，
即， 7分
又，则，所以，所以． 9分
所以，所以． 10分
在，，中，由余弦定理可得，即． 13分
16．【详解】（1），当时，， 1分
两式作差得， 2分
即，∴， 4分
∴， 6分
当时也成立，∴． 7分
（2）由（1）得，
所以，
所以， 9分
所以， 13分
所以． 15分
17．【详解】（1）以A为原点建立如图所示的坐标系，∴，，，，∴，，，设面AEG的法向量为，∴，令，则，∴，∵平面AEG，，∴平面AEG；（几何法同样给分） 5分
（2）假设存在点H，设，则．
6分
设面SCD法向量，∵，，∴，则， 8分
设面ABH法向量，∴，则， 11分
∵，∴， 13分
∴，∵H不在端点，∴， 14分
故存在满足题意的点H，此时． 15分
18．【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，，由三角形面积为，得，则，，，所以C的方程是． 4分
（2）（ⅰ）由（1）知，点，设直线l的方程为，设，，由消去x得：，
则，， 6分
直线QA与QB的斜率分别为，，
于是
， 10分
整理得，解得或， 11分
当时，直线过点Q，不符合题意，
因此，直线恒过定点． 12分
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，
则， 14分
因此的面积，
15分
当且仅当，即时取等号， 16分
所以面积的最大值为． 17分
19．【详解】（1）因为，定义域为，且， 1分
令，解得；令，解得； 3分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 5分
（2）因为，则，可得
， 7分
， 8分
对于不等式：，即
，整理得，
所以使得不等式：成立的正整数n的取值范围． 10分
（3）因为的定义域为，且恒成立，
且，所以当时，， 12分
由（1）可知在单调递减，在单调递增，因为，所以，，…，， 13分
又因为，则，所以， 14分
又因为在单调递减，所以，即，
即，所以， 16分
则，所以． 17分