湖南省长沙市六校2025届高三上学期九月大联考 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市六校2025届高三上学期九月大联考 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，若，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．等差数列中，，则（ ）
A．40B．30C．20D．10
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，且，则的大小关系（ ）
A．B．C．D．
7．当时，曲线与交点的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；
A．这次考试等级分的标准差为5
B．这次考试等级分超过80分的约有45人
C．这次考试等级分在内的人数约为48人
D．
10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象关于对称
B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．若函数有4个零点，则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ．
13．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则 .
14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若外接圆的半径为2，求面积的最大值．
16．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点.
(1)当直线倾斜角为时，求直线的方程；
(2)求证：的面积为定值.
18．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求的零点个数.
(3)在区间上有两个零点，求的范围?
19．对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．
(1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【分析】将代入方程求出，再求集合即可.
【详解】由可知，
当时，，解得：或，即.
故选B.
2．【答案】C
【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.
【详解】因为，所以.
故选C.
3．【答案】B
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
【详解】设等差数列的公差为，
，则，
，则，解得，，
．
故选B．
4．【答案】A
【分析】切化弦，通分即可求解.
【详解】因为，因为，所以.
故选A.
5．【答案】B
【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．
【详解】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，
所以，，又和为平面内相交直线，
所以平面，所以为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为，
所以，，，
则，.
故选B．
6．【答案】D
【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较大小.
【详解】，当时，，
所以在单调递增，
因为，所以，即.
故选D.
7．【答案】D
【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】与在上的函数图象如图所示，
由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.
故选D.

8．【答案】B
【分析】根据题意，利用赋值法，求得，得到的一个周期是，再根据函数的周期性和奇偶性，求得的值，进而得到答案.
【详解】由题意知，函数的定义域为，且，
令，得，所以；
令，得，所以，所以是偶函数，
令，得①，所以②，
由①②知，所以，
所以，所以的一个周期是，
由②得，所以，同理，所以，
又由周期性和偶函数可得：
所以，
所以.
故选B.
9．【答案】ACD
【分析】根据的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.
【详解】对于A，因，则，故A正确；
对于B，因，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；
对于C，因,
故这次考试等级分在内的人数约为人，故C正确；
对于D，因
,
故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BD
【分析】对于A项，运用若点关于对称的点满足方程，则曲线的图象关于对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.
【详解】对于A项，把代入得，
显然点不满足双纽线方程，
所以曲线的图象不关于对称，故A项错误；
对于B项，由可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故B项正确：
对于C项，令解得或，即曲线经过，，，
由题意可知，，
令，得，
令，得，
因此曲线只能经过3个整点，，，故C项错误；
对于D项，直线与曲线一定有公共点，
若直线与曲线只有一个交点，
所以，整理得，只有一个解，
即，解得，故D项正确．
故选BD.
11．【答案】AC
【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，且当趋近于0或时，趋近于，
可得函数的图象，如图所示：
对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；
对于选项B：因为，且在内单调递增，
所以，故B错误；
对于选项C：令，可得，
可知函数有4个零点，即与有4个交点，
且的定义域为，且，
可知为偶函数，且当时，
原题意等价于当时，与有2个交点，
由题意可知：，故C正确；
对于选项D：设，
则，
可知在内单调递增，则，
即，
若，不妨设，
则，
且，且在内单调递增，
则，所以，故D错误.
故选AC.
【方法总结】利用导数证明不等式的基本步骤：
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
12．【答案】
【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．
【详解】由得，，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：．
13．【答案】
【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得.
【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得，
取的中点，连接，由，得，则，
连接，由为的中点，得，，，
因此，即，整理得，
而，所以.
故答案为：.

14．【答案】
【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.
【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，
人数组合是时，共有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种；
人数组合是时，共有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种，
所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.
【详解】（1）由已知及正弦定理可得，
整理得，
，
．
（2）外接圆的半径为2，
，得，
又，
当且仅当时，等号成立，
，
即面积的最大值为．
16．【答案】(1)证明见详解；
(2).
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；
（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面，又平面，
所以.又，且，
所以平面.因为，所以平面.
（2）作，垂足为.则.又，
所以四边形是平行四边形，又，
所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，
所以.
由（1）知平面，所以.又，
所以.在中，.
在中，.
由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，
由，得可取.
设平面的法向量为，
由，得，可取.
因此，.
依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案；
（2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案；
【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆，
直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得，
，所以直线为或.
（2）证明：因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得
,
又因为直线与椭圆交于两点，得
所以，因为直线与轴交于点，所以
所以
.
18．【答案】(1)的单调减区间为：；单调增区间为：，；
(2)1个；
(3).
【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；
（2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解.
（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解.
【详解】（1）由题可得：，
令，解得：或，
令，解得：；
令，解得：或；
所以的单调减区间为：；单调增区间为：，
（2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，，
由于，则在上无零点；
由于，则在上无零点；
由于，则在上存在唯一零点；
综上，函数在上存在唯一零点.
（3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点；
由(1)知，在上单调递增，上单调递减；
，，，
所以函数与在区间上有两个交点，则，
即在区间上有两个零点，则的范围为
19．【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可；
（2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案.
（3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是．
（2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则，
由得．
由题意，得对均成立，即．
当时，；
当时，恒成立，
因为，所以，与矛盾，
所以这样的等差数列不存在．
（3）设数列的公比为q，则．
因为的每一项均为正整数，且，
所以在中，为最小项.
同理，中，为最小项.
由为“K数列”，只需，即．
又因为不是“数列”，且为最小项，
所以，即．
由数列的每一项均为正整数，可得，
所以或．
当时，，则．
令，则，
又，
所以为递增数列，即，
因为，
所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”．
当时，，则．
因为，所以数列不是“K数列”．
综上所述，当时，，数列为“K数列”；
当时，，数列不是“K数列”．
【思路导引】需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行列式分析.