重庆市两江中学校2025届高三上学期入学考试模拟二数学试卷(含答案)

这是一份重庆市两江中学校2025届高三上学期入学考试模拟二数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知,则( )
A.B.C.D.
4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口,弧壁,广底,圈足.器内施白釉,外壁以黄釉为地,刻云龙纹并填绿彩,美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体,其口径,足径,高,其中底部圆柱高,则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为( )（附：的值取3,）
A.B.C.D.
5．若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心,则正整数的值为( )
A.1B.2C.3D.4
6．设,,,则a,b,c的大小顺序为( )
A.B.C.D.
7．若,则( )
A.B.C.D.
8．若定义在R上的函数满足：,,且对任意,,都有,则( )
A.B.为偶函数
C.是的一个周期D.图象关于对称
二、多项选择题
9．已知函数的部分图象如图所示,令,则下列说法正确的有( ).
A.的一个对称中心
B.的对称轴方程为
C.在上的值域为
D.的单调递减区间为
10．已知复数z,,,下列结论正确的有( )
A.若复数z满足,则
B.若,z满足,则
C.若,则
D.若复数z满足,则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
11．在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则( )
A.边上的高为
B.为定值
C.的最小值为2
D.若,则
三、填空题
12．已知非零向量,满足,且,则,的夹角大小为____________.
13．已知,是双曲线的左,右焦点,点M在E上,与x轴垂直,,则E的离心率为____________.
14．已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线,则公共点坐标为_____________.
四、解答题
15．如图,在四棱锥中,平面平面,,且.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
16．在中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求角C的大小；
(2)若为锐角三角形,求的取值范围.
17．地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标,在过去五年(2019年-2023年)中,某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃,从1464亿元增长到了3008亿元,若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的x值为1,2020年对应的x值为2,以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表:
(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元,若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布,那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个,记随机变量Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”,求的概率;
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为,根据上述的回归方程,估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据:人均生产总值=地区生产总值÷人口总数;
线性回归方程中,斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是:,,
若,则,.
18．已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程；
(2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线l的方程.
19．已知函数,其中e为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)若方程有两个不同的根,.
(i)求a的取值范围;
(ii)证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题得,故,
解得或,故,则,
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为,,
所以,,
当时,
,即解得
所以“”是的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：C
解析：由,得,而,即,
则,所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：设该圆台的母线长为l,两底面圆半径分别为R,r（其中）,
则,,,
所以,
故圆台部分的侧面积为,
圆柱部分的侧面积为,
故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意且是整数,
若,则,
若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心,
所以,,解得,,即.
故选：C.
6．答案：C
解析：由,且,
构造函数,可得,
当时,,单调递减,
又由,故,即.
选：C.
7．答案：D
解析：根据题意,
,
而
.
故选：D.
8．答案：D
解析：在中,令,得,则是函数的一个对称中心,
在中,令,得,
所以,是的一个周期,
接下来我们构造反例说明ABC错误,然后证明D正确：
首先对于ABC而言,由以上分析不妨设,,
而
,
,
若要恒成立,
只需恒成立,只需,
因为,所以,从而满足题意的可以是,
但是,故A错误；
,故B错误；
是函数的一个最小正周期,故C错误；
现在我们来证明D是正确的：
对于D,由以上分析有,,这表明图象关于对称,故D正确
故选：D.
9．答案：BCD
解析：由题图可得,,解得.
又,
可得,解得.
因为,所以,所以.
所以
.
对于A,当,,
所以不是的一个对称中心,故A错误；
对于B,令,可得,
故的对称轴方程为,故B正确；
对于C,时,,所以,
故在上的值域为,故C正确；
对于D,令,解得,
所以的单调递减区间为,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A选项,令,
因为,所以,即,所以,故A正确；
对于B选项,令,,,
因为,所以或,
；
；
因为,所以,
因为或,所以,
所以,故B正确；
对于C选项,令,易知,所以,故C错误；
对于D选项,令,因为,
所以,
由椭圆定义可得z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆,故D正确,
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对A,边上的高为,由题意,故A正确；
对B,由正弦定理即,
故,
又锐角,故,即,故B正确；
对C,,
又,故
,当且仅当,
即时取等号,此时,,与锐角矛盾,故C错误；
对D,,
即,又,即,
故,解得,故.
则,即,解得.
故,,或,.
不妨设,,
则,,
故,,,
故,由正弦定理,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为,设向量与的夹角为6,
所以,
又因为,
所以,所以.
因为,所以.
所以向量,的夹角大小为.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题,因为与轴垂直且,
所以,即,
由双曲线的定义可知,则,,
又因为,则,即,则,
所以
14．答案：
解析：函数的定义域为,可得,由,
设曲线与曲线的公共点为,
由于在公共点处有共同的切线,所以,所以,
由,可得,联立可得,
解得,所以,所以公共点坐标为.
故答案为：.
15．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由题意,则,
因为,,所以,,
因为平面平面,平面平面,
且,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
且,,平面,所以平面,
又平面,所以平面平面；
(2)如图,以A为原点,,分别为x轴,y轴正方向,在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则,,,
所以,,,,
设平面的一个法向量,
则,令,得,
设平面的法向量,
则,令,得,
设平面与平面的夹角为,则,
所以平面与平面夹角的正弦值为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,
,
因为,
所以,
化简得,由余弦定理得,
又,所以；
(2)由正弦定理知
,
由为锐角三角形可知,而,
所以得,所以,
所以,即,
则的取值范围为.
17．答案：(1);
(2)
解析：(1)易知,所以根据正态分布区间公式有,
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16,
则,所以:;
(2)因为,由题意可知,每年的人均生产总值分别依次为:
,,,
,,
所以,,
则,，
由公式可知,
,
即.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设，，则，因G为的重心，
故有：，解得，，代入，化简得，
又，故，所以G的轨迹方程为.
（2）因H为的垂心，故有，，
又，所以，故设直线l的方程为，
与联立消去y得：，
由得，
设，，则，，
由，得，所以，
所以，
所以，化简得，
解得（舍去）或（满足），故直线l的方程为.
19．答案：(1)答案见解析
(2)（i）;（ii）证明见解析
解析：(1)由题意得,,则,
由,解得.
显然,
若,则当时,,单调递增,当时,,单调递减;
若,则当时,,单调递减,当时,,单调递增.
综上,当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减;
当时,在区间内单调递减,在区间内单调递增.
(2)（i）由,得,
设,由(1)得在区间内单调递增,在区间内单调递减,
又,,当时,,且当时,,
所以当时,方程有两个不同的根,即方程有两个不同的根,故a的取值范围是.
（ii）不妨设,则,且.
解法一：
当时,,即;
当时,.
设
则
所以在区间内单调递增,
则,即,
所以
又,,,在区间内单调递减,
所以,即,
又,所以,
故,所以,得证.
解法二：
设,,
则,
所以在区间内单调递增,
又,
所以,即.
又,所以,
又,,在区间内单调递减.
所以,即,
又,所以,得证.
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08