重庆实验外国语学校2022届高三上学期入学考试数学试题

                 2022级高三入学考试数学试题

（参考答案）

一 单选题  1-8 BADBCCBB    

二 多选题 9  ACD   10  BC  11  AD   12  ABD

三 填空题  13     14     15.540   16.2

四 解答题

17.（1）设等比数列的首项为，公比为．

依题意，有，代入，可得，

，

解之得或

又数列单调递增，所以，，

数列的通项公式为．

（2）240

18. （1）在中，由余弦定理及，有

，又因为，所以.

（2）由及，可得，

，

，

所以

19. （1）由题意可得

抛物线方程为

（2）设直线方程为，，

代入抛物线方程中，消去得，

，.

解得或（舍去）直线方程为，直线过定点.

20. 解：（1）记“从10所学校中选出的3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”的事件为A；

参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，随机选择3所学校共种，

所以．

（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所．

所以，，，．

所以X的分布列为

所以．

（3）答案不唯一．

答案示例1：可以认为小李同学在集训后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：

集训前，小李同学总考核为“优”的概率为：．

集训前，小李同学总考核为“优”的概率非常小，一且发生，就有理由认为集训后总考核达到“优”的概率发生了变化．

答案示例2：无法确定，理由如下：

集训前，小李同学总考核为“优”的概率为：．

虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．

21. 由，斜边，，

设切点为，连接，，又，

，，

所以圆锥中球的半径就是半圆的半径，即为.

（2）在三棱锥中，设到平面的距离为

在中，，

在等腰三角形中, ，取中点，连，所以

所以

，由（1）知，

由于，所以

即

.

（3）

如图建立空间直接坐标系，则，， ，设在面上的射影与的正方向的夹角为，所以，，

，，，

设平面的法向量，

由，∴，

设与平面所成角为,所以

22. （1）①解：当时，，

，，令，解得.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以的极小值为，没有极大值.

又因为，，

所以，直线的方程为，即.

（2）证明：要证明，只需证明即可.

依题意，，是方程的两个不等实根，因为，

所以

①､②相加得：，

①､②相减得：，

消去，整理得，

.

不妨设，令，则.

故只需证明当时，，即证明.

设，则.

于是在单调递增，从而，因此.

所以，.