2023-2024学年北京市通州区高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市通州区高二（上）期中数学试卷，共23页。

A．B．C．D．
2．（4分）已知A（2，﹣3，﹣1），B（﹣6，5，3），则||＝（ ）
A．B．C．12D．14
3．（4分）已知，，，则等于（ ）
A．﹣4B．﹣6C．﹣7D．﹣8
4．（4分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
5．（4分）设直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0．则“a＝1”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4分）已知ABCD为矩形，AB＝4，AD＝1，点P在线段CD上，且满足AP⊥BP，则满足条件的点P有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．4个
7．（4分）如图，四面体ABCD中，，，，M为BD的中点，N为CM的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，AC与BD相交于点O．则OA1的长为（ ）
A．B．2C．D．
10．（4分）过直线y＝x﹣1上一点P作圆（x﹣5）2+y2＝2的两条切线l1，l2，切点分别为A，B，当直线l1，l2关于y＝x﹣1对称时，线段PA的长为（ ）
A．4B．C．D．2
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为 ．
12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则直线AA1到平面BB1C1C的距离为
13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，．则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量＝ ．
14．（5分）若直线y＝x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的一个可能取值是 ．
15．（5分）在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D中，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]．给出下列四个结论：
①所有满足条件的点P组成的区域面积为1；
②当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值：
③当λ＝1时，点P到AB距离的最小值为1；
④当，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P．
则所有正确结论的序号为 ．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．（12分）已知直线l1：2x+y﹣8＝0，直线l2：x﹣y+2＝0，设直线l1与l2的交点为A，点P的坐标为（2，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）求经过点P且与直线l1平行的直线方程；
（3）求以AP为直径的圆的方程．
17．（13分）已知直线x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．
（1）若直线与圆相交，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A，B两点．
（i）求线段AB的垂直平分线的方程；
（ii）若，求m的值．
18．（15分）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，AD⊥ED．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求证：CD∥平面ABFE；
（2）若EF＝ED＝1，CD＝2EF，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE与平面BCF夹角的大小．
条件①：CD⊥EA；
条件②：CF＝．
19．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中点．
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求B1D与平面EFGH所成角的正弦值；
（3）求点B1到平面EFGH的距离．
20．（15分）已知四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，现将三角形BCD沿BD折起到PBD位置，使得PA＝AB，得到三棱锥P﹣ABD．
（1）求证：平面PBD⊥平面ABD；
（2）棱PB上是否存在点G，使平面ADG与平面ABD夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由．
21．（15分）长度为6的线段PQ，设线段中点为G，线段PQ的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动．
（1）求点G的轨迹方程；
（2）设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线HB与直线AD交于点M，直线CH与直线y＝﹣3交于点N．试判断直线MN与BD的位置关系，并证明你的结论．
2023-2024学年北京市通州区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）直线x﹣y+2＝0的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据解析式可得直线斜率为k＝1，再由倾斜角与斜率之间的关系可得．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，
将直线x﹣y+2＝0化为斜截式可得y＝x+2，即直线斜率为k＝1；
所以k＝tanθ＝1，又θ∈[0，π），所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（4分）已知A（2，﹣3，﹣1），B（﹣6，5，3），则||＝（ ）
A．B．C．12D．14
【分析】利用空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：A（2，﹣3，﹣1），B（﹣6，5，3），
则||＝＝12．
故选：C．
【点评】本题考查空间两点间的距离公式，是基础题．
3．（4分）已知，，，则等于（ ）
A．﹣4B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可．
【解答】解：因为，，，
所以，
则．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
4．（4分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论．
【解答】解：根据题意将C1化为标准方程可得（x+1）2+（y+4）2＝25，
即圆心C1（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
由（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10可知圆心C2（2，2），半径，
此时圆心距为，，
显然r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，即两圆相交．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．
5．（4分）设直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0．则“a＝1”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】求出l1∥l2时a的值，即可判定．
【解答】解：因为直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0，
故l1∥l2时，有a（a+1）﹣2＝0，
解得a＝1，或者a＝﹣2，
当a＝1时，l1：x+2y﹣4＝0，l2：x+2y+2＝0，l1∥l2；
当a＝﹣2时，l1：﹣2x+2y﹣4＝0，即x﹣y+2＝0，
l2：x﹣y+2＝0，则两直线重合，
故l1∥l2时，a＝1，则“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
6．（4分）已知ABCD为矩形，AB＝4，AD＝1，点P在线段CD上，且满足AP⊥BP，则满足条件的点P有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．4个
【分析】设CP＝a，则DP＝4﹣a，0≤a≤4，由勾股定理和二次方程的解，可得所求结论．
【解答】解：设CP＝a，则DP＝4﹣a，0≤a≤4，
在直角三角形ACP中，由勾股定理可得AP2＝AC2+CP2＝1+a2，
在直角三角形BDP中，由勾股定理可得BP2＝BD2+DP2＝1+（4﹣a）2，
在直角三角形ABP中，由勾股定理可得AB2＝AP2+BP2＝1+a2+1+（4﹣a）2＝16，
化简可得a2﹣4a+1＝0，解得a＝2±，
可得满足条件的点P有两个．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的运用，以及二次方程的解的个数，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
7．（4分）如图，四面体ABCD中，，，，M为BD的中点，N为CM的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用空间向量的线性运算，以为基底表示出向量即可．
【解答】解：由题可知，
由M为BD的中点，N为CM的中点可得，
即，
即，所以，
即．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8．（4分）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DM，取DM的中点E，连接NE，CE，推导出NE∥AM，从而∠CNE是直线AM和CN的夹角，由余弦定理能求出直线AM和CN夹角的余弦值．
【解答】解：连接DM，取DM的中点E，连接NE，CE，
正四面体ABCD中棱长为1，
因为M，N分别是BC，AD的中点，
所以NE∥AM，则∠CNE是直线AM和CN的夹角．
NE＝AM＝＝，CN＝，
CE＝＝＝，
所以直线AM和CN夹角的余弦值为：
cs∠CNE＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，AC与BD相交于点O．则OA1的长为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据题意，由空间向量的运算法则可得＝﹣＝+﹣，进而求出||2的值，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，＝﹣＝+﹣，
则||2＝（+﹣）2＝2+2+2﹣•﹣•+•
＝8+8+4﹣2×4×﹣2×4×+×4×4×＝4，
则有||＝2，故OA1的长为2．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间线段的长度求法，属于基础题．
10．（4分）过直线y＝x﹣1上一点P作圆（x﹣5）2+y2＝2的两条切线l1，l2，切点分别为A，B，当直线l1，l2关于y＝x﹣1对称时，线段PA的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【分析】判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，P的方程，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，可求线段PA的长．
【解答】解：显然圆心（5，0）不在直线y＝x﹣1上．
由对称性可知，P为直线y＝x﹣1上的特殊点，
这个点与圆心连线垂直于直线y＝x﹣1，从这点作切线才能关于直线y＝x﹣1对称．
所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5＝﹣x，即y＝5﹣x
与y＝x﹣1联立可求出该点坐标为（3，2），即P（3，2），
所以该点到圆心的距离为＝2，
切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，又知圆的半径为．
所以|PA|＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，属中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为 ﹣2 ．
【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．
【解答】解：因为A（0，4）和点B（1，2），
所以直线AB的斜率k＝＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】此题考查学生会利用两点坐标求两点确定直线的斜率，是一道基础题．
12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则直线AA1到平面BB1C1C的距离为
【分析】作AD⊥BC，推导出AD⊥平面BB1C1C，AA1∥平面BB1C1C，从而AD即为直线AA1到平面BB1C1C的距离，由此能求出结果．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
作AD⊥BC，
∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，
∴AD⊥平面BB1C1C，
∵AA1∥CC1，且AA1⊄平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，
∴AA1∥平面BB1C1C，
∴AD即为直线AA1到平面BB1C1C的距离，
∴直线AA1到平面BB1C1C的距离为AD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查直线到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，．则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量＝ （1，﹣1，0） ．
【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果．
【解答】解：因为，，，
所以，，
所以，
在的投影向量为．
故答案为：；（1，﹣1，0）．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14．（5分）若直线y＝x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的一个可能取值是 ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b的值，数形结合可得答案．
【解答】解：曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，
如图所示，
由图可知，当直线y＝x+b在l2和l3之间移动或与半圆相切，即处于l1的位置时，
直线与圆恰好有一个公共点，
当直线y＝x+b在l3时，经过点（1，0），所以b＝﹣1，
当直线y＝x+b在l2时，经过点（﹣1，0），所以b＝1，
当直线与半圆相切时，，
所以，或者（舍），
故或者﹣1≤b＜1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
15．（5分）在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D中，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]．给出下列四个结论：
①所有满足条件的点P组成的区域面积为1；
②当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值：
③当λ＝1时，点P到AB距离的最小值为1；
④当，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P．
则所有正确结论的序号为 ①②③ ．
【分析】对于①，可得点P在正方形BCC1B1内，即可判断；对于②，由题意可得P在线段B1C1上，从而得到P点到平面A1BC的距离为定值，Rt△A1BC的面积为定值，即可判断；对于③，由题意可得P在线段CC1上，连接BP，当P与C重合时，BP最小，从而即可判断；对于④，由题意可得P在线段EF上，当A1B⊥平面AB1P时，可得AE∥AB1，与AE∩AB1＝A矛盾，从而即可判断．
【解答】解：如图所示，
对于①，∵，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，
∴点P在正方形BCC1B1内，而正方形BCC1B1的面积为1，故①正确；
对于②，当μ＝1时，，∴＝，，
∴P在线段B1C1上，
由题意可知B1C1∥平面A1BC，
∴B1C1上的点到平面A1BC的距离处处相等，
∵Rt△A1BC的面积为定值，
∴三棱锥P﹣A1BC的体积为定值，故②正确；
对于③，当λ＝1时，，∴，，
∴P在线段CC1上，连接BP，
由题意可知AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BP，
∴BP的长为点P到AB的距离，
当P与C重合时，BP取最小值1，故③正确；
对于④，当μ＝时，，
取BB1中点E，CC1中点F，则P在线段EF上，
由题意知A1B⊥AB1，
若A1B⊥平面AB1P，则AP⊂平面AB1P，则必有A1B⊥AP，
∵PE⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，
∴PE⊥A1B，AP∩PE＝P，
∴A1B⊥平面APE，则有A1B⊥AE，
∵A1B⊥AB1，∴AE∥AB1，与AE∩AB1＝A矛盾，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查命题真假的判断，对于立体几何的判断题中，正面判断较困难的选项，可以采取反证法进行判断，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．（12分）已知直线l1：2x+y﹣8＝0，直线l2：x﹣y+2＝0，设直线l1与l2的交点为A，点P的坐标为（2，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）求经过点P且与直线l1平行的直线方程；
（3）求以AP为直径的圆的方程．
【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；
（2）求出直线l1的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；
（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程．
【解答】解：（1）由解得，
所以直线l1与l2的交点为A（2，4）；
（2）由l1：2x+y﹣8＝0得直线l1的斜率为﹣2，
又点P的坐标为（2，0），
所以经过点P且与直线l1平行的直线方程为y＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣4＝0．
（3）因为A（2，4），P（2，0），所以AP的中点坐标为（2，2），，
所以以AP为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
17．（13分）已知直线x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．
（1）若直线与圆相交，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A，B两点．
（i）求线段AB的垂直平分线的方程；
（ii）若，求m的值．
【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；
（2）（i）由题意线段AB的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；
（ii）由弦长列式求解即可．
【解答】解：（1）由x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，
所以当m＜5时，x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0表示以（2，1）为圆心，以为半径的圆，
由于直线x﹣y+1＝0与圆相交，所以圆心到直线的距离，
所以m＜3，即实数m的取值范围为（﹣∞，3）．
（2）（i）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆心（2，1），斜率为﹣1，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0．
（ii）由于圆心到直线的距离，，
所以由得，
解得．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化思想，属于基础题．
18．（15分）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，AD⊥ED．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求证：CD∥平面ABFE；
（2）若EF＝ED＝1，CD＝2EF，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE与平面BCF夹角的大小．
条件①：CD⊥EA；
条件②：CF＝．
【分析】（1）根据条件知AB∥CD，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小．
【解答】解：（1）证明：因为在五面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，所以AB∥CD，
又CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，故CD∥平面ABFE；
（2）若选条件①：根据已知条件可得：CD⊥AD，
因为CD⊥EA，EA∩AD＝A，EA⊂平面 ADE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，
因为DE⊂平面ADE，所以CD⊥DE，
则以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
因为EF＝ED＝1，CD＝2EF＝2，
所以D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1），
则，由（1）知，CD∥平面ABFE，CD⊂平面CDEF，
又平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF，
所以，所以F（0，1，1），即，因为CD⊥平面ADE，
所以平面ADE的法向量为，
设平面BCF的法向量为，
则，令y＝1，则，
设平面ADE与平面BCF夹角为θ，
则csθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
又，则，
所以平面ADE与平面BCF夹角的大小为．
若选条件②：由（1）知，CD∥平面ABFE，CD⊂平面CDEF，又平面ABFE∩平面CDEF＝EF，
所以CD∥EF，过点F作FG∥ED，交CD于点G，
则四边形EFGD为平行四边形，又EF＝ED＝1，CD＝2EF，则FG＝ED＝1，CG＝CD﹣DG＝1，
又因为，则CF2＝FG2+CG2，故，即CG⊥FG，则CD⊥DE，
则以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
所以D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1），
则，又，所以F（0，1，1），即，
因为CD⊥平面ADE，所以平面ADE的法向量为，
设平面BCF的法向量为，
则，令y＝1，则，
设平面ADE与平面BCF夹角为θ，
则csθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
又，则，
所以平面ADE与平面BCF夹角的大小为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
19．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中点．
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求B1D与平面EFGH所成角的正弦值；
（3）求点B1到平面EFGH的距离．
【分析】（1）取BB1的中点M，连接EM，FM，HM，先证H，M，F，G四点共面，再证H，M，G，E四点共面，又这两个平面重合，即可证明；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH的法向量，与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；
（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可．
【解答】解：（1）证明：如图，取BB1的中点M，连接EM，FM，HM，
因为E，F，G，H分别是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中点，
易得HM∥B1D1，GF∥B1D1，所以HM∥GF，
所以H，M，F，G四点共面，
又EM∥AB1，HG∥DC1，AB1∥DC1，
所以EM∥HG，
则H，M，G，E四点共面，
而过不共线的的三点H，M，G的平面具有唯一性，
则平面HMFG与平面EMGH重合，
故E，F，G，H四点共面．
（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的的边长为a
则，
则，
设是平面EFGH的法向量，
则，
取x＝1，则，
故 ＝＝＝；
（3），由（2）知平面EFGH的法向量，
所以点B1到平面EFGH的距离为
，
即B1到平面EFGH的距离为．
【点评】本题主要考查点、线、面的距离计算，属于中档题．
20．（15分）已知四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，现将三角形BCD沿BD折起到PBD位置，使得PA＝AB，得到三棱锥P﹣ABD．
（1）求证：平面PBD⊥平面ABD；
（2）棱PB上是否存在点G，使平面ADG与平面ABD夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG与平面ABD的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，
所以OA＝OB＝OC＝OD，OC⊥OB，OA⊥OB，
所以折起后，OA＝OB＝OP＝OD，OP⊥OB，
由于折起前有OA2+OB2＝AB2，且折起后PA＝AB，
所以折起后有OA2+OP2＝PA2，即OP⊥OA，
又OP⊥OB，OA∩OB＝O，OA，OB⊂平面ABD，
所以OP⊥平面ABD，又OP⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面ABD；
（2）解：由（1）知OP⊥OB，OP⊥OA，OA⊥OB，
故以O为原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系：
设OA＝1，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1），
则，，，
假设存在满足题意的点G，设，λ，﹣λ），（0≤λ＜1），
则，
设平面ADG的法向量为，
则，令x＝1，得y＝﹣1，，
，
易知平面ABD的一个法向量为，
因为平面ADG与平面ABD夹角的余弦值为，
所以，解得，
所以在棱PB上存在点G，使平面ADG与平面ABD夹角的余弦值为，
且G为棱PB的中点，故．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角夹角的余弦值求法，属难题．
21．（15分）长度为6的线段PQ，设线段中点为G，线段PQ的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动．
（1）求点G的轨迹方程；
（2）设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线HB与直线AD交于点M，直线CH与直线y＝﹣3交于点N．试判断直线MN与BD的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由题意，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长，进而可得点G的轨迹，再进行求解即可；
（2）得到A，B，C，D四点的坐标，将直线HB与直线AD的方程联立，求出点M的坐标，将直线CH与直线y＝﹣3的方程联立，求出点N的坐标，再利用坐标求出直线MN的斜率，将其与直线BD的斜率进行比较，进而即可求解．
【解答】解：（1）已知在Rt△POQ 中，
因为G是线段PQ中点，
所以，
则点G的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，
故G的轨迹方程为x2+y2＝9；
（2）证明如下：若点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），
不妨设A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），D（0，﹣3），
此时直线AD的方程为y＝﹣x﹣3，
因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，
不妨设H（x0，y0）（0＜x0＜3，0＜y0＜3），
此时，
不妨设直线HB的方程为，
联立，
解得，，
即，
不妨设直线CH的方程为，
联立，
解得x＝，y＝﹣3，
即，
此时＝
＝＝，
又，
故MN∥BD．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力．
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