2020-2021学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期末数学试卷，共21页。

A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆BD．B⊆A
2．（5分）在复平面内，复数z＝对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为和，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为80%和90%．则从市场上买到一个合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（5分）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1只是坏的B．4只全是好的
C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的
6．（5分）设函数f（x）＝csx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N（80，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为（ ）
（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.997）
A．208B．206C．204D．202
8．（5分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，则t的最小值（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ）
A．192种B．216种C．240种D．288种
10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（ ）
A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为
C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为
二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．
11．（5分）二项式（1+x）n的展开式中x2的系数为15，则n＝ （用数字作答）．
12．（5分）数列{an}是公差为﹣2的等差数列，记{an}的前n项和为Sn，且a1，a3，a4成等比数列，则a1＝ ；Sn＝ ．
13．（5分）函数f（x）＝xsinx+csx的一个单调递减区间是 ．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点M（﹣1，4）作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AF|＝|AM|，则抛物线C的方程为 ；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣e|x|，关于函数f（x）给出下列命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）在区间单调递增；
③函数f（x）存在两个零点；
④函数f（x）存在极大值和极小值．
其中正确命题的序号是 ．
16．（5分）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如表：
记V（t）为6月t日冰激凌的供应量，W（t）为6月t日冰激凌的销售量，其中t＝1，2，…，30．用销售指数，（n≥1，n∈N）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当n＝1时，P（t，1）表示6月t日的日销售指数．
给出下列四个结论：
①在6月1日至6日这6天中，P（4，1）最小，P（5，1）最大；
②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③P（1，3）＝P（4，3）；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意t∈{1，2，3，4，5，6，7}，都有P（t，6）＝P（1，12）．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置．
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）在以下三组条件中选择一组作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求其面积．
①b＝3，sinC＝2sinA；
②，a＝5；
③AB边上的高，b＝2．
18．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．
（Ⅰ）求证：BE∥FG；
（Ⅱ）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．
19．（15分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：
（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．
20．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点M （4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．
21．（15分）已知函数f（x）＝（1+）ex，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y＝f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（﹣∞，﹣]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，本题共10个小题，每题5分，共50分．每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答题纸的相应位置．
1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆BD．B⊆A
【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜1}，
B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
∴A⊆B．
故选：C．
2．（5分）在复平面内，复数z＝对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：＝＝﹣i+2
所对应的点为（2，﹣1），该点位于第四象限
故选：D．
3．（5分）设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为和，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为80%和90%．则从市场上买到一个合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，若买到的合格品是甲厂生产的，其概率P1＝×80%＝，
若买到的合格品是乙厂生产的，其概率P2＝×90%＝，
则从市场上买到一个合格品的概率P＝P1+P2＝+＝，
故选：C．
4．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：因为双曲线﹣y2＝1（a＞0），的一条渐近线方程为2x+y＝0，
所以＝2，
所以a＝，
所以2a＝1，
所以双曲线的实轴长为1．
故选：A．
5．（5分）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1只是坏的B．4只全是好的
C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的
【解答】解：∵盒中有10只螺丝钉
∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104＝210，
∵其中有3只是坏的，
∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73＝105，C32C72＝63，C74＝35，C74+C31×C73+C32×C72＝203，
∴恰有1只坏的概率分别为：＝，
恰有2只好的概率为＝，
4只全是好的概率为，
至多2只坏的概率为＝；
故选：C．
6．（5分）设函数f（x）＝csx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设函数f（x）＝csx+bsinx（b为常数），
则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，
“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，
∴函数f（x）＝csx+bsinx（b为常数），
则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．
故选：C．
7．（5分）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N（80，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为（ ）
（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.997）
A．208B．206C．204D．202
【解答】设参赛学生的成绩为X，∵X～N（80，100），∴μ＝80，σ＝10，
则P（X≥90）＝P（X≤70）＝[1﹣P（70＜X＜90）]
＝[1﹣P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）]＝×（1﹣0.683）＝0.1585，
32÷0.1585≈202（人）．
故选：D．
8．（5分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，则t的最小值（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由图象可得x＝时，函数y＝Asin（ωx+φ）的函数值为0，即+φ＝kπ（k∈Z），
∴φ＝﹣+kπ（k∈Z），
∴y＝Asin（ωx﹣+kπ），将此函数向左平移t个单位得，f（x）＝Asin[ω（x+t）﹣+kπ]，
又∵f（x）为奇函数，
∴ωt﹣+kπ＝k1π（k1∈Z），
∴t＝+π（k∈Z，k1∈Z），
∴t的最小值是．
故选：B．
9．（5分）期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ）
A．192种B．216种C．240种D．288种
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①第一节课排语文，剩下的5节随意安排，有＝120种安排方法，
②第一节课排数学，语文不能安排在最后一节，有4＝96种安排方法，
则一共有120+96＝216种安排方法，
故选：B．
10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（ ）
A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为
C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点，
则D（0，0，0），，
所以，
设P（x，y，z），则，
因为MP⊥CN，
所以，
当x＝1时，z＝，
当x＝0时，z＝，
取，
连结EF，FG，GH，HE，
则，，
所以四边形EFGH为矩形，则，
即EF⊥CN，EH⊥CN，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，
所以CN⊥平面EFGH，
又，
所以M为EG的中点，则M∈平面EFGH，
所以为使MP⊥CN，必有点P∈平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，
所以点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱BB1的中点，
故选项A错误；
又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，
所以EF≠EH，则点P的轨迹不是正方形，且矩形EFGH的周长为，
故选项C错误，选项D正确；
因为，，
又MP⊥CN，则，
所以，点P在正方体表面运动，则，解得，且0≤y≤1，
所以MP＝，
故当或z＝，y＝0或1时，MP取得最大值为，
故选项B错误；
故选：D．
二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．
11．（5分）二项式（1+x）n的展开式中x2的系数为15，则n＝ 6 （用数字作答）．
【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中x2的系数为＝15，则n＝6，
故答案为：6．
12．（5分）数列{an}是公差为﹣2的等差数列，记{an}的前n项和为Sn，且a1，a3，a4成等比数列，则a1＝ 8 ；Sn＝ ﹣n2+9n ．
【解答】解：因为数列{an}是公差为﹣2的等差数列．其a1，a3，a4成等比数列，
所以a32＝a1a4，即（a1﹣4）2＝a1（a1﹣6），
解得a1＝8，
所以Sn＝8n+×（﹣2）＝﹣n2+9n．
故答案为：8，﹣n2+9n．
13．（5分）函数f（x）＝xsinx+csx的一个单调递减区间是 （答案不唯一） ．
【解答】解：f（x）＝xsinx+csx，则f′（x）＝sinx+xcsx﹣sinx＝xcsx，
当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f（x）＝xsinx+csx的一个单调递减区间是．
故答案为：（答案不唯一）．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点M（﹣1，4）作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AF|＝|AM|，则抛物线C的方程为 y2＝4x ；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为 ﹣1 ．
【解答】解：由题意和抛物线的性质|AF|＝|AM|，可得M在抛物线的准线上，即﹣＝﹣1，所以p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
所以焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
且由题意可得A（xA，4），
代入抛物线的方程可得42＝4•xA，所以xA＝4，
所以A（4，4），
设B的横坐标xB，直线AF的斜率k＝＝，
所以直线AF的方程为：y＝（x﹣1），
代入抛物线的方程整理可得：4x2﹣17x+4＝0，解得x＝或x＝4，
可得xB＝，代入抛物线的方程可得y2＝4×＝1，
所以y＝±1，
由题意可知B在x轴的下方，所以y＝﹣1，
故答案为：y2＝4x；﹣1
15．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣e|x|，关于函数f（x）给出下列命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）在区间单调递增；
③函数f（x）存在两个零点；
④函数f（x）存在极大值和极小值．
其中正确命题的序号是 ①②④ ．
【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣e|x|，
对于①函数满足由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故①正确；
对于②当x＞0时，f（x）＝2x2﹣ex，所以f′（x）＝4x﹣ex，进一步求出f″（x）＝4﹣ex，
令f″（x）＝0，解得x＝ln4，当x∈（0，ln4）时，f″（x）＞0，所以f″（x）单调递增，
当x＝时，，所以函数f′（x）在上恒大于0，
故函数f（x）在区间单调递增，故②正确；
对于③，由于x≥0时，f（x）＝2x2﹣ex，
由于f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＜0得：
函数在（1，2）和（2，3）上各有一个零点，由于函数为偶函数，
故函数在（﹣3，﹣2）和（﹣2，﹣1）上也各有一个零点，故③错误，
对于④，根据②③得：函数f（x）存在极大值和极小值，故④正确．
故答案为：①②④．
16．（5分）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如表：
记V（t）为6月t日冰激凌的供应量，W（t）为6月t日冰激凌的销售量，其中t＝1，2，…，30．用销售指数，（n≥1，n∈N）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当n＝1时，P（t，1）表示6月t日的日销售指数．
给出下列四个结论：
①在6月1日至6日这6天中，P（4，1）最小，P（5，1）最大；
②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③P（1，3）＝P（4，3）；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意t∈{1，2，3，4，5，6，7}，都有P（t，6）＝P（1，12）．
其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【解答】解：对于①，P（t，1）＝，最大值为P（5，1）＝，最小值为P（4，1）＝，故①正确；
对于②，由①，6月2日和6月5日日销售指数不同，但销售量相同，故②错误；
对于③，，P（4，3）＝，故③错误；
对于④，P（t，6）＝，P（1，12）＝，
∵V（t）以2为周期，W（t）以3为周期，又6＝2×3，可知销售指数的周期为6，故P（t，6）＝P（1，12），④正确．
故答案为：①④．
三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置．
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）在以下三组条件中选择一组作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求其面积．
①b＝3，sinC＝2sinA；
②，a＝5；
③AB边上的高，b＝2．
【解答】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，
在△ABC中，sinA≠0，可得，
∵B∈（0，π），
∴．
（Ⅱ）若选①，∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2acsB，得，解得，
∴．
满足三角形ABC只有唯一解，
∴．
若选②，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2acsB，得，解得c2﹣5c+4＝0，
∴c＝1或c＝4，
经检验c＝1或c＝4均成立，不满足三角形ABC只有唯一解，
所以选②不成立．
若选③，因为AB边上的高，b＝2，
所以，
则a＝b＝2，且，
所以△ABC为等边三角形，
满足三角形ABC只有唯一解，
∴．
18．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．
（Ⅰ）求证：BE∥FG；
（Ⅱ）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为E为AD中点，
所以．
又因为BC＝1，
所以DE＝BC．
在梯形ABCD中，DE∥BC，
所以四边形BCDE为平行四边形．
所以BE∥．
又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，
所以BE∥平面PCD．
因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，
所以BE∥FG．
（Ⅱ）解：（解法1）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE．
因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，
所以AE⊥BE．
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．
则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，0，0）．
设P（0，0，m）（m＞0），
所以，．
因为PC与AB所成角为，
所以．
所以．
则，．
所以，，．
设平面BEF的法向量为，
则即
令x＝6，则，
所以．
所以．
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为．
19．（15分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：
（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．
【解答】解：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，
所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，
因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是，
所以，，，
所以随机变量X的分布列为：
故；
（3）从满意度的均值来分析问题如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，
乘坐飞机的人满意度均值为：，
因为，
所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．
20．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点M （4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2
又离心率，所以
所以b2＝a2﹣c2＝2．
所以椭圆C的方程为；．
（Ⅱ）法一：
设点P（x0，y0），则
所以PN的中点，
，．
因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点
所以MQ⊥NP，则，
即．
又因为，所以
所以．
函数的值域为[﹣12，20]
所以0≤n2≤20
所以．
法二：
设点P（x0，y0），则．
设PN的中点为Q
因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点
所以MQ是线段PN的垂直平分线，
所以|MP|＝|MN|，
即，
所以．
函数的值域为[﹣12，20]，
所以0≤n2≤20．
所以．
21．（15分）已知函数f（x）＝（1+）ex，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y＝f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（﹣∞，﹣]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝0，得x＝﹣a，所以函数f（x）的零点为﹣a．（2分）
（Ⅱ）函数f（x）在区域（﹣∞，0）上有意义，f′（x）＝，（5分）
令f′（x）＝0，得x1＝，x2＝，
因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．（7分）
当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下：
所以在区间（﹣∞，）上f（x）是增函数，（8分）
在区间（，0）上f（x）是减函数．（9分）
（Ⅲ）在区间（﹣∞，﹣]上f（x）存在最小值f（﹣）．（10分）
证明：由（Ⅰ）知﹣a是函数f（x）的零点，
因为﹣a﹣x1＝﹣a﹣＝＞0，
所以x1＜﹣a＜0，（11分）
由知，当x＜﹣a时，f（x）＞0，（12分）
又函数在（x1，0）上是减函数，且x1＜﹣a＜﹣＜0，
所以函数在区间（﹣x1，﹣]上的最小值为f（﹣），且f（﹣）＜0，（13分）
所以函数在区间（﹣∞，﹣]上的最小值为f（﹣），
计算得f（﹣）＝﹣．（14分）
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日期：2021/8/18 19:56:25；用户：数学；邮箱：ysjky4@xyh.cm；学号：223876706月1日
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x
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（x1，0）
f′（x）
+
﹣
f（x）
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