2022-2023学年北京市顺义二中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市顺义二中高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）直线l经过原点O和点A（1，﹣1），则直线l的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．﹣45°
2．（4分）在空间直角坐标系中，若M（0，1，3），N（2，1，1），则＝（ ）
A．（﹣2，0，2）B．（2，0，﹣2）C．（2，2，0）D．（2，2，﹣1）
3．（4分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（ ）
A．10B．12C．18D．24
5．（4分）向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．以上都不对
6．（4分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且l∥a，则（ ）
A．B．C．4D．
7．（4分）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
8．（4分）过A（m，1），B（﹣1，m）两点的直线与过P（1，2），Q（﹣5，0）两点的直线平行，则m的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（4分）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
（1）中位数为3，众数为2；
（2）均值小于1，中位数为1；
（3）均值为3，众数为4；
（4）均值为2，标准差为．
A．（1）（3）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）
10．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则可表示为（ ）
A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11．（5分）已知向量＝（2，﹣1，6），＝（1，λ，3），且∥，则λ的值为
12．（5分）已知向量，，，则的坐标为 ．
13．（5分）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是 ．
14．（5分）口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球，从中随机摸出2个球．则2个都是黄球的概率为 ；2个球颜色不同的概率为 ．
15．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）
16．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为BB1的中点．
（1）求证：AD1∥平面BDC1；
（2）求直线CC1与平面AD1E所成角的正弦值．
17．（14分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率．
（1）乙中靶；
（2）恰有一人中靶；
（3）至少有一人中靶．
18．（14分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（1）求证：MN⊥平面A1B1C；
（2）求平面A1B1C1与平面A1B1C的夹角的余弦值．
19．（14分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．
20．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，AB＝AC＝CD＝2BE＝2，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，O为BC中点．
（1）求直线AE与BC所成角的余弦值；
（2）点B到平面ADE的距离；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值．
21．（15分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝2CD＝4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，使得平面ACB⊥平面ACD'．
（1）求证：BC∥平面POD'；
（2）平面ABC与平面BCD'夹角的余弦值；
（3）线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市顺义二中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每个小题只有一项符合题意要求，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题的相对位置上，每小题4分，本大题共10小题，共40.0分）
1．（4分）直线l经过原点O和点A（1，﹣1），则直线l的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．﹣45°
【分析】根据题意，设直线l的倾斜角为θ，求出直线的斜率，可得tanθ的值，据此求出θ．
【解答】解：根据题意，设直线l的倾斜角为θ，
直线l经过原点O和点A（1，﹣1），则直线l的斜率k＝＝﹣1，
则有tanθ＝﹣1，又0°≤θ＜180°，
所以θ＝135°；
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2．（4分）在空间直角坐标系中，若M（0，1，3），N（2，1，1），则＝（ ）
A．（﹣2，0，2）B．（2，0，﹣2）C．（2，2，0）D．（2，2，﹣1）
【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，M（0，1，3），N（2，1，1），
∴＝（2，0，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出所取的2个球中没有白球的概，再用1减去它，即得所取的2个球中至少有1个白球的概率．
【解答】解：所有的取法共有＝10种，而没有白球的取法＝3，
故所取的2个球中没有白球的概率是，
故所取的2个球中至少有1个白球的概是 1﹣＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查等可能事件的概率，古典概型和对立事件，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率．
4．（4分）为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（ ）
A．10B．12C．18D．24
【分析】利用分层抽样的性质直接求解．
【解答】解：为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，
A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，
从C学校中应抽取的人数为：60×＝10．
故选：A．
【点评】本题考查样本中单元数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．
5．（4分）向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．以上都不对
【分析】推导出，＝0，＝0，从而，，．
【解答】解：∵＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），
∴，＝0，＝0，
∴，，．
故选：B．
【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
6．（4分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且l∥a，则（ ）
A．B．C．4D．
【分析】由题意可得，由向量垂直的坐标运算即可求解．
【解答】解：若l∥α，则有，
即，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题．
7．（4分）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况即可作出判断．
【解答】解：对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；
对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以为＜，B错误，
对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；
对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确．
故选：B．
【点评】本题考查根据折线统计图解决实际问题，用方差、标准差说明数据的波动程度，属于基础题．
8．（4分）过A（m，1），B（﹣1，m）两点的直线与过P（1，2），Q（﹣5，0）两点的直线平行，则m的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：∵P（1，2），Q（﹣5，0），
∴，
∵直线PQ与直线AB平行，
∴kAB＝kPQ，即，解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，以及直线平行的性质，属于基础题．
9．（4分）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
（1）中位数为3，众数为2；
（2）均值小于1，中位数为1；
（3）均值为3，众数为4；
（4）均值为2，标准差为．
A．（1）（3）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）
【分析】将7个数据由小到大依次排列，举出反例证明（1）（3）不满足，假设（2）不满足，根据计算得到平均数大于1，矛盾，假设（4）不满足，计算标准差大于，矛盾，得到答案．
【解答】解：将7个数由小到大依次记为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7．
对于（1）选项，反例：2、2、2、3、3、4、6，
满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要求；
对于（2）选项，假设x7≥6，即该公司发生了群体性发热，
∵中位数为1，∴x6≥x5≥x4＝1，平均数为，矛盾，
故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选项合乎要求；
对于（3）选项，反例：0、1、2、4、4、4、6，满足众数为4，均值为3，
与题意矛盾，（3）选项不合乎要求；
对于（4）选项，假设x7≥6，即该公司发生群体性发热，若均值为2，
则方差为，即，与（4）选项矛盾，
故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（4）选项合乎要求．
故选：D．
【点评】本题考查中位数的概念，众数的概念，平均数的概念，方差的概念，属基础题．
10．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则可表示为（ ）
A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+
【分析】直接利用三棱柱的性质特点和向量的线性运算求出结果．
【解答】解：根据三棱柱的性质，＝．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三棱柱的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11．（5分）已知向量＝（2，﹣1，6），＝（1，λ，3），且∥，则λ的值为 ﹣
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量＝（2，﹣1，6），＝（1，λ，3），且∥，
∴，解得λ＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）已知向量，，，则的坐标为 （10，﹣3，17） ．
【分析】直接利用向量的运算法则计算即可．
【解答】解：向量，，，
则．
故答案为：（10，﹣3，17）．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
13．（5分）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是 ．
【分析】记事件A＝{这道题没被解出来}，题意即为P＝1﹣P（A），结合概率的乘法公式求出P（A），即可得出答案．
【解答】解：记事件A＝{这道题没被解出来}，
则P（A）＝（1﹣）×（1﹣）＝，
故这道题被解出（至少有一人解出来）的概率P＝1﹣P（A）＝1﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（5分）口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球，从中随机摸出2个球．则2个都是黄球的概率为 ；2个球颜色不同的概率为 ．
【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：从6个球中随机摸出2个球，共有，而摸出的2个都是黄球的有1种，
所以摸出2个都是黄球的概率为，
∵摸出的2个球颜色相同的有3种，所以摸出2个球颜色不同的有12种，
∴摸出2个球颜色不同的概率为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
15．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为 4 ．
【分析】由，结合数量积的运算律即可求解．
【解答】解：如图所示：
因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，所以CP⊥AC，，所以，
由图可知：，
所以＝．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）
16．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为BB1的中点．
（1）求证：AD1∥平面BDC1；
（2）求直线CC1与平面AD1E所成角的正弦值．
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由线面角的向量求法即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得D1C1∥AB，且D1C1＝AB，
所以四边形D1C1BA是平行四边形，所以AD1∥C1B，
而C1B⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，
所以AD1∥平面BDC1．
（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz如图所示：
则C（2，2，0），C1（2，2，2），A（0，0，0），D1（2，0，2），E（0，2，1），
，
设平面AD1E的法向量为，
则有，令x＝2，则x＝﹣2，y＝1，
所以，
设直线CC1与平面AD1E所成角为α，
则．
所以直线CC1与平面AD1E所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查了线面角的求解及直线与平面平行的判定，空间向量的应用是求解问题的关键，属于中档题．
17．（14分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率．
（1）乙中靶；
（2）恰有一人中靶；
（3）至少有一人中靶．
【分析】（1）根据已知条件，结合相互独立事件的乘法公式，即可求解；
（2）分两种情况考虑，即可求解；
（3）根据对立事件的概率，即可得解．
【解答】解：（1）设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，
则事件A与事件B相互独立，
∵P（A）＝0.8，P（AB）＝0.72，
∴，
故乙中靶的概率为0.9；
（2）设恰有一人中靶为事件C，
则，
故恰有一人中靶的概率为0.26；
（3）设至少有一人中靶为事件D，
则，
故至少有一人中靶得概率为0.98．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
18．（14分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（1）求证：MN⊥平面A1B1C；
（2）求平面A1B1C1与平面A1B1C的夹角的余弦值．
【分析】（1）先证明BC1⊥B1C．连接A1M，CM，进而可证MN⊥B1C，MN⊥A1C．可证MN⊥平面A1B1C．
（2）易证∠CB1C是面A1B1C1与平面A1B1C所成角的平面角，求解即可．
【解答】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC1B1是正方形．
∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．
连接A1M，CM，△AMA1≌△BMC．
∴A1M＝CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．
∵B1C与A1C相交于点C，
∴MN⊥平面A1B1C．
（2）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴CC1⊥平面A1B1C1，∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥A1B1，
∵∠ABC＝90°，∴A1B1⊥C1B1，CC1∩C1B1＝C1，
∴A1B1⊥平面C1B1BC，∵B1C⊂平面C1B1BC，
∴A1B1⊥B1C，∴∠CB1C是面A1B1C1与平面A1B1C所成角的平面角，
在△CB1C中，∵BC＝BB1＝2，∴∠CB1C＝45°，
∴cs∠CB1C＝，
∴平面A1B1C1与平面A1B1C的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查面面角的求法，属中档题．
19．（14分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．
【分析】（1）由题意先求出样本容量，由此能求出n和频率分布直方图中的x，y的值．
（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，由频率分布直方图列出方程，能求出本次竞赛学生成绩的中位数．
（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，由此利用列举法能求出所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知，样本容量n＝＝50，…（2分）
，
x＝0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040＝0.030．…（4分）
（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，
则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040＝0.5，
解得m＝71，
∴本次竞赛学生成绩的中位数为71．…（8分）
（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，
记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，
分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．
抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），
（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），
（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）． …（10分）
其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），
（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．…（12分）
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
20．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，AB＝AC＝CD＝2BE＝2，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，O为BC中点．
（1）求直线AE与BC所成角的余弦值；
（2）点B到平面ADE的距离；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值．
【分析】（1）在△AEF中，求出三边长，由余弦定理即可解得；
（2）由等体积法求解即可；
（3）过点O作平面ADE的平行平面，与AC交点即为Q．
【解答】解：（1）设CD中点为F，连OE、OF、EF，则CF∥BE且CF＝BE，
于是四边形BEFC为平行四边形，故BC∥EF，直线AE与BC所成角为∠AEF，
由于平面ABC⊥平面BCDE，AO⊥BC，则AO⊥平面BCDE，从而AO⊥OE，AO⊥OF，
在△AEF中，，，，
由余弦定理可得：；
（2）在△AED中，，，
由余弦定理得：，
故，于是，，
设点B到平面ADE的距离为d，则•OA，
于是，即点B到平面ADE的距离为；
（3）线段AC上存在一点Q，使OQ∥平面ADE．
理由如下：连BF，则四边形BEDF为平行四边形，
DE∥BF，过点O作ON∥BF，交CD于N，则ON∥DE，于是ON∥平面ADE，
由于O为BC中点，则N为CF的中点，即，
过点N作NQ∥AD，交AC于点Q，连OQ，则，即，
又DA⊂平面ADE，故QN∥平面ADE，又NQ∩ON＝N，于是平面OQN∥平面ADE，
又OQ⊂平面OQN，OQ∥平面ADE，
故线段AC上存在一点Q，OQ∥平面ADE，此时．
【点评】本题考查线面平行与线面垂直的判定定理与性质定理，以及用等积法求距离，属于中档题．
21．（15分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝2CD＝4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，使得平面ACB⊥平面ACD'．
（1）求证：BC∥平面POD'；
（2）平面ABC与平面BCD'夹角的余弦值；
（3）线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，得到线面平行；
（2）由面面垂直证明出线面垂直，得到OD'，AC，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角；
（3）设Q（0，a，1﹣a），a∈[0，1]，结合第二问求出的平面BCD'的法向量，列出方程，求出a的值，得到．
【解答】解：（1）证明：如图，连接PC，
∵AB＝2CD＝4，P为AB的中点，AB∥CD，
∴AP＝CD＝2，AP∥CD，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴O是AC，DP的中点，
∵P是AB的中点，
∴OP∥CB，
∵PO⊂平面POD'，CB⊄平面POD'，
∴BC∥平面POD'；
（2）∵平面ACB⊥平面ACD'，交线为AC，AD'＝D'C，O是AC的中点，
∴OD'⊥AC，
∵OD'⊂平面ACD'，
∴OD'⊥平面ACB，
∵AC，OP⊂平面ACB，
∴OD'⊥AC，OD'⊥OP，
∵∠BAD＝60°，AP＝AD，
∴三角形ADP为等边三角形，
∵O是DP的中点，
∴OP⊥AC，
∴OD'，AC，OP两两垂直，
则以O为坐标原点，分别以OA，OP，OD'为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AB＝2AD＝2CD＝4，
∴，，
设平面BCD'的法向量为，
则，
解得：y＝0，令x＝1，则z＝﹣，
所以，
平面ABC的法向量为，
设平面ABC与平面BCD'的夹角为θ，
则，
故平面ABC与平面BCD'的夹角的余弦值为；
（3）存在点Q，
理由如下：设Q（0，a，1﹣a），a∈[0，1]，
则，
由（2）知：平面BCD'的法向量为，
设CQ与平面BCD'所成角为α，
则，
因为a∈[0，1]，解得：a＝，
故．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解线面角以及二面角问题，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
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